Тригонометрия в МГУ и МФТИ

n 3

. . | | MathUs.ru

: ? ; ? ( 2011 .) , (2010?2011 .); ? ; ? .

, n, k Z.

1. (, , 2012 ) :

sin 4x + 3 sin 3x + sin 2x = 0.

2. (, , 2012 ) (x; y), (cos x + cos y)(sin x + sin y) = 2.

3. (, , 2012 ) : 4 + cos 2x = 7 sin y, y2 - x2 = y - 2 . 4

4. (, , 2012 ) : sin2 2x = sin2 x.

5. (, , 2011 ) : (sin x - cos x)2 = 2.

1

4

+ 2k;

4

+ 2n

,

5 4

+

2k;

5 4

+ 2n

-

3

+ 2n;

6

+ 2n

,

3

+ 2n;

5 6

+ 2n

,

3

+ 2n;

6

- 2n

,

-

3

+ 2n;

5 6

- 2n

n 3

-

4

+

n

6. (, , 2011 ) :

6 sin x = 2 cos x.

6

+ 2n

12 7

7. (, , 2010 ) 4 .

3 cos2 x + 2 sin x - 1

8. (, , 2010 )

tg2

5x + sin2 y

+

5x + cos 2y +

3

= 4 cos2 7 .

3

5x + cos 2y

4

2+2 15

;

?

1 2

arccos

7-2 3

+ n

,

-

4+2 15

;

?

1 2

arccos

2-5 3

+

n

9. (, - , 2010 ) )

9(sin x + cos x)2 32(1 + 7 ctg x tg 4x)

+

+ 7 = 0.

cos 2x

tg x + 7 tg 4x

) , [0; 120], , : 23040.

) arctg 4 + n; ) 120 arctg 4 + 7140 < 23040

10. (, - , 2010 ) cos tg 2, ,

sin

=

1 3

,

cos

-

3

< 0.

-232, -472

11. (, , 2010 ) 2 sin4 x + 7 cos3 x = 2.

2

+ n,

?

3

+ 2n

12. (, , 2010 )

tg 3x = - tg x ,

0 x < .

3 4

2

13. (, , 2010 ) cos x + sin 2x = 1. cos 3x

n

14. (, , 2009 )

a cos 4x + sin 2x - = sin 3x,

64 a , 20092009 36.

n 3

,

(-1)n

6

+

n

15. (, , 2009 ) x, -

f (x)

=

2 cos

(15+x) 6

+

1

14 + 5x - x2

.

(-2; 1) (5; 7)

16. (, - , 2009 ) 8 cos2 5x - 4 cos2 10x = 1.

?

4

+

n

17. (, - , 2009 )

cos 2x - 4 2 cos x + 4 = 0.

?

15

+

n 5

18. (, , 2009 ) sin 2x + cos 2x = | sin 2x|-1.

4

+ n,

8

+ n

19. (, , 2009 )

2 cos2 x - 5 sin 2x + 6t = 0,

t = arccos

cos

23 3

- arcsin

-

3 2

.

4

+ n,

arctg

3 2

+ n

3

20. (, , 2008 )

(-1)n + n, 6

4 ? + 2k,

36

n, k Z.

:

5

2

- + 2n, 6

+ k, 63

n, k Z.

? .

. : (sin 3x - 1)

cos x +

3 2

=0

21. (, , 2008 ) 1 - sin 2x + | sin x| cos x.

2n

x

3 4

+ 2n

22. (, -, 2008 ) , 0 < < 720, cos 31.

31, 329, 391, 689

23. (, -, 2008 )

1 9x 2 > cos 3x.

2

1 9x 2

, y =

y = cos 3x.

2

24. (, -, 2008 )

cos 2x

= 0.

1 - 2 sin x

(-; 0)

9

;

+

(-1)n+1

4

+

n

25. (, -, 2008 )

arccos 3x arccos 6 - 15x .

1 3

4

7 2

-

2

26. (, -, 2008 )

3 sin 2x - 2 sin

3

-

x

cos

x

-

7 3

- cos 2x = 0,

5 7 ; .

22

5

3 3

27. (, - , 2008 ) tg + 2 , cos = - < < 0.

4

52

31 17

28. (, -, 2008 ) ctg - tg = .

8

29. (, , 2008 )

4

8

2

cos + sin = 2 sin + ,

x

x

4x

logx+2(x2 - 2x + 4) 1.

8 5

,

-

24 19

,

8 7

30. (, -, 2008 ) | sin x| = cos 3x. tg x

4

+

2n,

-

3 4

+

2n

31. (, , 2008 ) log2 ctg 2 + log2(1 - cos ) - 2 log2 sin , = 4 .

32. (, , 2007 ) 3 cos x|3 sin x + cos x| = sin x| cos x - 3 sin x|.

-

-

1 2

2

-

1 2

arctg

3 5

+ n

5

-

19 200

,

131 200

33. (, , 2007 )

7 2 sin x +

18 ? sin 3x +

=

cos

4x

+

2cos

2 3

,

25

25

4 - ; .

10 5

34. (, -, 2007 ) sin 5x - sin 3x = 1. 2 sin x

35. (, -, 2007 ) :

cos 2x + sin x 1

= cos x.

cos x

2

36. (, - , 2007 ) sin2 11x = cos2 17x.

2

+ n

(-1)n+1

arcsin

1 3

+

n

56

+

n 28

,

12

+

n 6

37. (, -, 2007 ) :

5

5 cos 2x + = 4 sin - x - 1.

3

6

-

2 3

+

2n,

-

6

+

(-1)n

arcsin

3 5

+

n

3 4

+ 2n,

5 8

+ 2n

38. (, -, 2007 ) cos 3x = sin x, : sin x 0, cos x 0.

39. (, , 2006 ) |1 - 2 sin x + cos x| + 2 sin x + 1 = cos 2x.

+ 2n

6

40. (, , 2006 )

8

9 - 3 cos 2x

tg x >

,

3 sin 2x - 2

x< .

2

41. (, -, 2006 )

cos x + sin x + cos 3x + sin 3x = - 6 cos x.

arctg

3+ 2

;

2

5

2

+ n,

8

?

5 12

+ n

42. (, -, 2006 ) : 3 cos 2x + 11 sin x = 7.

(-1)n

6

+ n

43. (, - , 2006 ) , .

180 180+

44. (, -, 2006 )

1

2 sin x -

+ tg x - 1 = 0.

cos x

+ 2n,

4

+ n

45. (, - , 2006 )

9 cos 2x + 9 cos 6x = 36 cos x cos 3x + 140 3 sin x sin 2x - 162.

? arccos

3 3

+

2n

46. (, -, 2006 ) 3(sin 2x + cos 3x) = 1, cos 2x - sin 3x

(1; 2).

11 30

7

47. (, -, 2006 ) x (8; 12),

14

2 ctg sin x = 6 - 6 cos .

6

5

13 5

48. (, , 2006 ) : sin 3x = 0.

1 + 2 cos 2x

n

49. (, , 2006 ) : 3 + 6 cos 2x + 3 cos 4x + 2 cos 6x = 0.

4

+

n 2

,

2

?

1 2

arccos

3 4

+ 2n

50. (, - , 2006 ) sin |1 - 2x| + cos x = 0.

1?

2

2n

51. (, , 2005 )

sin 2(x + y) = 1, xy = 9.

xn,

4

+ n - xn

, xn =

8

+

n 2

?

1 2

4

+ n

- 36,

n

=

-2, -1, 0, 1

2

52. (, , 2005 ) 12 cos 2x + 8| sin x| 3 + | sin x| - 3 cos 2x = 11.

? arcsin

3+1 4

+

n

53. (, , 2005 )

ctg x + 1 = - 15 sin x.

+ arctg 2 + 2n

8

 ................
................

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