RELACIÓN I - MI CUARTA VIDA | IES JUAN DE LA CIERVA



RELACIÓN I.- Sistemas de ecuaciones y Matrices

1.- Escribe cuando sea posible, sistemas de ecuaciones que respondan a las características siguientes:

a) Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que tenga infinitas soluciones.

b) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea compatible y determinado.

c) Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que no tenga solución.

d) Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que tenga solución única.

Razona en cada caso tu respuesta.

2.- Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal de 42 unidades. La fábrica abastece a tres establecimientos- digamos A, B y C – que demandan toda su producción. En una determinada semana el establecimiento A solicitó tantas unidades como B y C juntos y, por otro lado, B solicitó un 20% más que la suma de la mitad de lo que pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿Cuántas unidades solicitó cada establecimiento cada semana?

3.- Del sistema de ecuaciones [pic] se conocen todas las soluciones, que son

x=[pic], y=2[pic] con [pic] variando en los números reales. También se sabe que

[pic][pic]=[pic]

Resuelve el sistema [pic]

4.- Sabiendo que la matriz A verifica la relación [pic]

Resuelve el sistema [pic]

5.- Sea la matriz [pic]

a) Comprueba que se verifica [pic] siendo [pic] la matriz identidad de orden 3

b) Usando la igualdad anterior, calcula razonadamente [pic]

6.- Sea A la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones

[pic]

Resuelve el sistema sabiendo que [pic]

7.- Resuelve la ecuación matricial AX+2B=C, siendo

A= [pic] B= [pic] y C= [pic]

8.- De las matrices [pic] y [pic] se sabe que [pic]

a) ¿Tiene inversa? Justifica la respuesta y si la respuesta es afirmativa cuál es la inversa de [pic].

b) ¿Es cierto que [pic] en este caso?

9.- Considera el sistema de ecuaciones lineales [pic]

a) ¿Para qué valores de k no tiene inversa la matriz de loa coeficientes?

b) Discute el sistema según los valores de k

10.- De la matriz A dada por A = [pic] se sabe que no tiene inversa

a) ¿Cuánto vale [pic]? Justifica la respuesta.

b) Resuelve el sistema [pic]

c) ¿Existe alguna solución de dicho sistema con y=-1?

11.- a) Dadas las matrices [pic] y [pic], calcula la matriz X que cumple [pic]

(El superíndice t representa la matriz traspuesta)

b) ¿Tiene X matriz inversa? Justifica la respuesta.

12.- Considera las matrices A = [pic] y X = [pic]

¿Existe algún valor real l para el cual el sistema AX= lX tiene una solución distinta de la trivial? Si la respuesta es afirmativa, indica el valor de l y resuelve el sistema; si es negativa, di por qué.

13.- Sea A una matriz no nula dada y considera la ecuación matricial AX=A+X, donde X es la incógnita.

a) Encuentra la relación que debe existir entre las dimensiones de A y de X para que la ecuación tenga sentido.

b) ¿Puede ser la suma de dos soluciones una nueva solución? ¿Y el producto de un número por la solución? Justifica la respuesta.

c) Si A = [pic] y buscamos una solución de la forma X = [pic], discute la ecuación matricial que resulta y resuélvela cuando sea posible.

14.- Sea C la matriz, que depende de un parámetro m, dada por

C = [pic]

a) ¿Para qué valores del parámetro m no tiene inversa la matriz C?

b) Calcula la matriz inversa de C para m=2.

15.- En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos productos.

- El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de cacahuetes y siete vasos y su precio es de 565 pts.

- El segundo lote está compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas de cacahuetes y diez vasos y su precio es de 740 pts.

Con estos datos, ¿podrías averiguar cuánto debería valer un lote formado por una botella de cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso? Justifica la respuesta.

16.- a) Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro b

[pic]

b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

17.- Una persona trata de adivinar, mediante ciertas pistas, el coste de tres productos A, B y C que un amigo suyo ha comprado.

Pista 1: Si compro una unidad de A, dos de B y una de C me gasto 900 pts.

Pista 2: Si compro m unidades de A, m+3 d b y tres de C me gasto 2950 pts.

a) ¿Hay algún valor de m para el que estas dos pistas no son compatibles?

b) Si en la Pista 2 se toma m=4, ¿es posible saber el coste de cada no de los productos?

18.- Considera el sistema [pic]

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

c) Razona para que valores de m tiene inversa la matriz de los coeficientes del sistema.

19.- Se dice que dos matrices A y B son semejantes cuando existe una matriz inversible P tal que AP=PB

a) Prueba que las matrices A= [pic] y B= [pic] son semejantes.

b) Resuelve los sistemas:[pic] y [pic]

19.- Se dice que una matriz A cuadrada de orden 3 es ortogonal si su inversa [pic] y su traspuesta [pic] coinciden. Dado un número real x sea B la matriz

B= [pic]

a) ¿Es ortogonal la matriz B?

b) ¿Es [pic] ortogonal?

20.- La matriz cuadrada X de orden 3 verifica la relación

[pic]

a) Determina si es posible el rango de X.

b) ¿Verifica algunas de las matrices A y b siguientes la relación del enunciado:

A= [pic] B= [pic]

21.- Sea el sistema de ecuaciones [pic]

a) Estudia el comportamiento según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo para m=2

22.- Considera las matrices A= [pic] B=[pic]

a) Determina si A y B son invertibles y, en su caso, calcula la matriz inversa.

b) Resuelve la ecuación matricial [pic]

23.- Considera la matriz [pic] donde a, b y c son no nulos.

a) Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes.

b) Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.

24.- Considera el sistema de ecuaciones [pic]

a) Halla todos los valores del parámetro [pic] para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones.

b) Resuelve el sistema para los valores de [pic] en el apartado anterior.

c) Discute el sistema para los restantes valores de [pic].

25.- Considera el sistema de ecuaciones [pic]

a) Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones.

b) Resuelve el sistema resultante.

26.- Considera la matriz A= [pic]

a) Determina para qué valores del parámetro b existe [pic].

b) Calcula [pic] para b=2.

27.- Dada la matriz A=[pic], calcula [pic]

28.- Considera la matriz A= [pic]

a) Halla todos los valores de [pic] para los que la matriz A no tiene inversa.

b) Tomando [pic]=1, resuelve el sistema escrito en forma matricial

A[pic]

29.- Considera las matrices A= [pic], X= [pic] y U= [pic]

a) Halla los valores de x e y tales que AX=U

b) Halla la matriz [pic] y calcula [pic]

c) Encuentra los posibles valores de m para los que los vectores A[pic] y [pic]

30.- Considera el sistema de ecuaciones [pic]

a) Halla todos los valores posibles del parámetro [pic] para los que el sistema correspondiente tiene al menos dos soluciones distintas.

b) Resuelve el sistema para los valores de [pic] en el apartado anterior.

c) Discute el sistema para los restantes valores de [pic].

31.- Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de [pic]:

[pic]

32.- Resuelve la ecuación matricial [pic], siendo A= [pic] y

B= [pic]

33.- Considera el sistema de ecuaciones escrito de forma matricial

[pic]

a) Discute el sistema según los valores del parámetro b.

b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

34.- Un mayorista de café dispone de tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 50 kg. Con los siguientes contenidos en kilos y precios del kilo en euros.

| |Mezcla A |Mezcla B |Mezcla C |

|Moka |15 |30 |12 |

|Brasil |30 |10 |18 |

|Colombia |15 |20 |30 |

|Precio (cada kg.) |4 |4,5 |4,7 |

Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, cuál es el precio de cada uno de los tipos de café.

35.- De las matrices A= [pic], B= [pic], C= [pic] y D= [pic]

Determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas matrices.

36.- Considera A= [pic], B= [pic] y X= [pic]

a) Determina el rango de A en función del parámetro a.

b) Discute el función de a el sistema, dado en forma matricial AX=B

c) Resuelve AX=B en los casos en que sea compatible indeterminado.

37.- Sea A= [pic] ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A? Calcula dicha matriz inversa.

38.- Considera la matriz A= [pic]

a) Siendo I la matriz identidad 3x3 y O la matriz nula 3x3, prueba que

[pic]

b)Calcula [pic]

39.- Considera el sistema [pic]

a) Discútelo según los valores de m.

b) ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones respectivas son las tres que forman el sistema?

40.- Determina la matriz X tal que AX-3B=03, siendo A= [pic] y B= [pic]

41.- Considera la matriz A= [pic]

a) Calcula el determinante de las matrices: 2ª, A31 Y (A31)-1

b) Halla la matriz A-1.

42.- Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX=AX+B siendo

A= [pic], B= [pic] y X= [pic]

43.- Considera la matriz A= [pic]

a) Determina para que valores del parámetro [pic] la matriz A no tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para [pic]= -2

43.- Determina a, b y c sabiendo que la matriz A= [pic] verifica [pic] y rango (A)=2.

44.- a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m:

[pic]

b) Resuelve el sistema anterior para m=6.

45.- En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B C, se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones:

- El precio de la empresa A es 0,6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C.

- El precio dado por B es la media de los precios de A y C.

- El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 2/5 del precio dado por A más 1/3 del precio dado por B.

46.- Considera las matrices A= [pic], B= [pic]

a) Calcula la matriz inversa de A.

b) Calcula A127 y A128

c) Determina x e y tal que AB=BA

47.- Sean A= [pic], B= [pic], b= [pic], c= [pic], X= [pic]. Determina [pic], si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) AX=b, BX=c, tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos)

48.- Considera la matriz A= [pic]

a) Halla los valores de a para que la matriz 3ª tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, la inversa de A2 para a=0

49.- Considera la matriz A= [pic]. Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

50.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: [pic]

a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.

b) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.

c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.

51.- Determina una matriz X que verifique la ecuación AX=X-B siendo

[pic] y [pic]

52.- Considera [pic], [pic] y [pic].

a) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A?

b) Resuelve, para m=2, el sistema de ecuaciones AX=C.

53.- Denotamos por Mt a la matriz transpuesta de una matriz M. Considera [pic]

a) Calcula [pic]

b) Determina la matriz X que verifique la relación [pic].

53.- Considera el sistema de ecuaciones:

[pic]

a) Clasifícalo según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado.

54.- Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de [pic]:

[pic]

55.- Resuelve la ecuación matricial [pic], siendo [pic] Y [pic].

56.- Determina razonadamente los valores de m para que los el sistema de ecuaciones

[pic] tiene más de una solución.

57.- Dadas las matrices [pic] y [pic], halla la matriz X que cumple [pic]

58.- Dada la matriz [pic], se pide:

a) Determina los valores de m para los que la matriz A tiene inversa.

b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m=2.

59.- Considera el sistema de ecuaciones:

[pic]

a) Discute las soluciones del sistema según los valores dem.

b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.

59.- Considera la matriz [pic], donde x es un número real.

a) ¿Para qué valores de x existe [pic]? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz [pic].

b) Resuelve, si es posible, la ecuación [pic]

60.- Considera las matrices [pic].

a) ¿Para qué valores de m existe la matriz [pic]?

b) Siendo m=2, calcula [pic] y resuelve el sistema AX=B.

c) Resuelve el sistema AX=B para m=1.

61.- Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entradas a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día de recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas.

62.- Considera las matrices [pic].

a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial[pic]

b) Resuelve la ecuación matricial para m=1.

63.- Considera las matrices [pic] y [pic].

a) Siendo I la matriz identidad 3, calcula los valores de [pic] para los que la matriz [pic] no tiene inversa.

b) Resuelve el sistema [pic] e interpreta geométricamente el conjunto de todas las soluciones.

64.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

[pic] tiene al menos dos soluciones distintas.

65.- a) Sabiendo que la matriz [pic] tiene rango 2,¿cuál es el valor de a ?

b) Resuelve el sistema de ecuaciones [pic]

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