Professor Camilo



Análise CombinatóriaUm motivo t?o mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condi??es.A Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a constru??o, sob certas circunst?ncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto.Dois conceitos s?o fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem (árvore de possibilidades).Os três tipos principais de agrupamentos s?o as Permuta??es, os Arranjos e as Combina??es. Estes agrupamentos podem ser simples, com repeti??o ou circulares.Princípio fundamental da contagem - PFC ? Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, ent?o o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por: T = k1. k2.k3....kn Exemplo1 O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de op??es entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas pe?as, somente multiplicamos as op??es:monitores teclados CPU 3 x 4 x 3 = 36 Ent?o, têm-se 36 possibilidades de configura??es diferentes.Exemplo2 ( FGV - SP ) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ? a)90 b)100 c)110 d)130 e)120Saladas carne bebidas sobremesas 2 x 4 x 5 x 3 = 120 ?rvore das possibilidades: digrama que tem por objetivo visualizar as diversas op??es da contagem de um acontecimento, é um método direto de contagemExemplo1: Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ? Escolha da salada Escolha da Carne114300015240000217170038100peixe00peixe0152400Salada de alface00Salada de alface3314700914408 possibilidades diferentes008 possibilidades diferentes12573009144000114300091440001143000914400011430009144000217170030480franco00franco12573008382000212407566675carne cozida00carne cozida022860Salada de tomate00Salada de tomate1257300762000012573007620000217170030480Lingüi?a 00Lingüi?a Exemplo 2 Jo?o e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as seguintes regras:I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou três em qualquer ordem.II - em caso de empate, o vencedor será declarado através sorteio.O número de resultados possíveis nesta competi??o é:A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 1545339021653500Solu??o:Seja J a vitória de Jo?o e P a vitória de Paulo. Verificamos que s?o dez os resultados possíveis.Os três tipos principais de agrupamentos 1-Permuta??o Simples: ? um caso particular de arranjo simples. ? o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.17545051524000Exemplo 1 Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120Exemplo2 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou n?o significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da palavra REI s?o: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas da palavra MUNDIAL. ? A Palavra MUNDIAL tem 7 letras ent?o o seu anagrama é: P7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 1-1 Permuta??o com elementos repetidos INCLUDEPICTURE "áli15.gif" \* MERGEFORMATINET a, b, c,... etc representam a quantidade de repeti??o de uma letra Exemplo1 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas vezes) P = 5!/2! = 5.4.3 = 60 2-Arranjos simples :Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posi??o dos seus elementos(a ordem que os elementos ocupam dentro do grupo tem import?ncia ). Perceba que, se quisermos formar centenas de algarismos distintos, utilizando apenas os 5 primeiros números ímpares (1; 3. 5;7; 9) teremos as seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim sucessivamente. Se invertermos a posi??o dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 ≠ 351. Temos ent?o um ARRANJO de 5 números (1; 3;5;7;9) em grupos de três (centenas). ? Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula: ? INCLUDEPICTURE "áli14.gif" \* MERGEFORMATINET ? Resolvendo o problema das centenas temos: A5,3 = 5!/(5-3)! A5,3 = 5!/2! A5,3 = 5.4.3.2!/2! A5,3 = 5.4.3 = 60 Logo, utilizando apenas os cinco primeiros números impares, podemos formar 60 centenas de algarismos diferentes. Exemplo2:?Determine o número de anagramas da palavra MATEM?TICA. (n?o considere o acento)Temos 10 elementos, com repeti??o. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo P o número de anagramas, podemos escrever: P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.Exemplo3 Quantos s?o os anagramas da palavra CANDIDATA ?Solu??o : Já sabemos que um anagrama corresponde a uma permuta??o das letras da palavra. CANDIDATA- 9 letras, sendo 3 A, 2 D, 1 C, 1 N, 1 I , 1 TO número de anagramas é : P9 3 , 2 = INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET = INCLUDEPICTURE "" \* MERGEFORMATINET = 30.240Exemplo4. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA? ? Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes). P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 103 - Combina??es simples :? Temos uma combina??o quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posi??o dos seus elementos(a ordem em que os elementos ocupam no grupo n?o tem import?ncia). Perceba que se houver cinco pessoas(Jo?o, Pedro, Luís, Gilberto e Ana) , entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por Jo?o, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e Jo?o. Temos, ent?o, uma combina??o de cinco elementos em grupos de três. ? Representando por Cn,k o número total de combina??es de n elementos tomados k a k? (taxa k) , temos a seguinte fórmula: ? -1537335-816927500? Resolvendo o problema dos grupos de 5 pessoas para escolher 3, temos: C5,3 = 5!/[(5-3)!.3!] => C5,3 = 5!/[(2!.3!] C5,3 = 5.4.3!/[2.3!] C5,3 = 20/2 = 10 Podem ser formados 10 grupos Exemplo2:Uma prova consta de 15 quest?es das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 quest?es?Observe que a ordem das quest?es n?o muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combina??o de 15 elementos com taxa 10.?C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 formas diferentes.? Exemplo3. Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?C7,3 = 7! / [(7-3)! . 3!] = 7! / (4! . 3!) = 7.6.5.4! / 4!.3.2.1 = 35? Exemplo4. Sobre uma circunferência s?o marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos? C9,2 = 9! / [(9-2)! . 2!] = 9! / (7! . 2!) = 9.8.7! / 7!.2.1 = 36 retas ................
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