Tabela de Dados
CONVERG?NCIA DAS S?RES DE FOURIER E S?RIE DUPLA DE FOURIERBruno César Tomaz de Matos, Daniela Pacheco Le?o Chaves ResumoA teoria das séries de Fourier é formulada no domínio da teoria dos espa?os vetoriais munidos de produto-interno. Apesar de haver analogias com a Geometria Analítica elementar, a teoria das séries de Fourier n?o é simples porque os espa?os de fun??es têm (geralmente) dimens?o infinita. A motiva??o física para o estudo das séries de Fourier é que elas têm diversas aplica??es importantes, particularmente na resolu??o de equa??es diferenciais parciais. Além disso, servem para representar o comportamento de fun??es periódicas e de ondas eletromagnéticas. O método segue o princípio da utiliza??o das fun??es senos e cossenos como bases vetoriais para a extens?o de fun??es periódicas. No caso em que as fun??es a serem estendidas possuem duas variáveis independentes, é necessária a aplica??o da série em sua forma dupla.As Séries de FourierFun??es periódicas:Uma fun??o f(x) é dita periódica com um período T se f(x - nT) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x + NT) = f(x) para n inteiro n = 0, ±1, ±2, ...Série Trigonométrica:? uma série de fun??es cujos termos s?o obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x (bases) por coeficientes, que n?o dependem da variável x e s?o admitidos reais, mas que variam de acordo com a posi??o de cada termo.12a0+a1cosx+a2cos2x+…+b1sinx+b2sin2x+… ou12a0+n=1∞ancosnx+bnsinnxSendo esta série de fun??es, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma fun??o da variável independente e como os termos da série s?o formados por fun??es trigonométricas (periódicas de período 2π), a soma S(x), ou seja, a fun??o extendida será uma fun??o periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π,π) ou (0,2π).As fun??es periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica em sua forma mais geral (simples):.fx=12a0+n=1∞ancosnx+bnsinnx ouEsta representa??o é possível se a f(x) satisfaz as condi??es de Dirichlet.Cálculo dos Coeficientes de Fourier (série simples)As fórmulas que permitem o cálculo dos coeficientes de Fourier para fun??es que pertencem ao conjunto cp[-π,π], podem ser demonstradas a partir da realiza??o de produtos internos de ambos os lados da série trigonométrica pelas bases seno e cosseno. Com isso: a0=1π-ππf(x)dxan=1π-ππf(x)cosnxdx, n≥1bn=1π-ππf(x)sinnxdxPodemos generalizar as três equa??es:Condi??es de Dirichlet:Embora n?o sejam conhecidas as condi??es necessárias e suficientes para que uma fun??o possa ser representada por uma série trigonométrica, as condi??es de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a fun??o.1?) a fun??o f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo [-π,π], com exce??o, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).2?) efetuando-se uma parti??o no intervalo (-π,π) em um número finito de sub-intervalos, a fun??o f(x) em cada um deles será monótona. A fun??o f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.Série Dupla de FourierDiz-se que uma fun??o é contínua por partes num ret?ngulo R do plano, se:(i) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exce??o de um número finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou em ambos;(ii) existe limx,y→x0,y0f(x,y) quando x0,y0 é um ponto de descontinuidade de f e (x,y) tende a x0,y0 pelo interior de qualquer uma das regi?es em que R é derivada pelos arcos de descontinuidade.16002000Produto Interno:Definimos produto interno entre fun??es de duas variáveis independentes como:f,g=Rfx,ygx,ydRf,g=abcdfx,ygx,ydxdyTeorema: Sejam fi(x) e gj(y) bases ortogonais dos espa?os euclidianos cp[a,b] e cp[c,d], respectivamente. Ent?o, o conjunto de todos os produtos fixgjy , i=1,2,3,... e j=1,2,3,... uma base de cp(R), onde R é o ret?ngulo a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d.Seja a série dupla de Fourier abaixo:fx,y=i,jαi,jhi,jx,yBase para cp[-π,π]:f(x) ? cp[-π,π], x ? [-π,π]cosnx,sinmx, n = 0,1,2,... e m = 0,1,2,...Base para cp[-π,π]:g(y) ? cp[-π,π], y ? [-π,π]0166370 QUOTE cospx,sinqy , p = 0,1,2,... e q = 0,1,2,...Assim:Base para cp(R)571511430cosnxcospy,cosnxsinqy,sinmxcospy,sinmxsinqyfx,y∈cp(R)Cálculo dos coeficientes de Fourier (série dupla)As fórmulas que permitem o cálculo dos coeficientes de Fourier para fun??es que pertencem ao conjunto cp[-π,π], podem ser demonstradas a partir da realiza??o de produtos internos de ambos os lados da série trigonométrica pelas bases seno e cosseno. Com isso: a0=14π2-ππ-ππfxdxdyanm=1π2-ππ-ππf(x)cosnxcosmydxdybnm=1π2-ππ-ππf(x)cosnxsinmydxdycnm=1π2-ππ-ππf(x)sinnxcosmydxdydnm=1π2-ππ-ππf(x)sinnxsinmydxdyPodemos generalizar as cinco equa??es:αij=f,hijhij2 ouαij=1hij2-ππ-ππfx,yhijx,ydxdyA base vetorial é:hijx,y=φixφj(y), onde φi(x) e φj(y) s?o fun??es senos e cossesnos.Assim:fx,y=n=0p=0αnpcosnxcospy+n=0q=1αnqcosnxsinqy+m=1p=0αmpsinmxcospy+m=1q=1αmqsinmxsinqyOnde:cosixcosjy2=4π22π2π2, i≠0 e j≠0De um modo mais geral, o conjunto de fun??es:sinmπaxsinnπby,sinmπaxcosqπby,cospπaxsinnπby,cospπaxcosqπby é uma base do espa?o euclidiano das fun??es contínuas por partes no ret?ngulo –a ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ b.Teorema: Seja R o ret?ngulo –π ≤ x ≤ π, -π ≤ y ≤ π, e suponhamos que F seja contínua em R, e que ?F?x,?F?Y,?2F?x?y existam e sejam limitadas em R. Ent?o, a série dupla de Fourier de F converge pontualmente para F em R.Convergência das Séries de FourierConvergência Pontual:Seja f(x) contínua por partes em (-∞,∞), com período 2π, e suponhamos que:fx=12f(x+)+f(x-) para todo x. Ent?o, a série de Fourier de f converge para f(x0) em cada ponto x0 em que f tem derivadas à direita e à esquerda. QUOTE fx0+=limh→0+f(x0+h) -1143002540fx0+=limh→0+f(x0+h)fx0-=limh→0+f(x0-h)Quando f é contínua: fx0+=fx0-=f(x0)-114300167640limx→1+fx=0limx→1-fx=1Convergência em média:434340069215limk→∞fk-f=limk→∞abfkx-f(x)dx=0fkx→k→∞f(x)Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f, e n?o que converge pontualmente, no sentido que f(x0)=a02+n=1∞ancosnx0+bnsinnx0 para todo x0 em [-π,π]. A convergência pontual ocorre, surpreendentemente, quando f é razoavelmente bem comportada.fx=-1,-π<x<01,0<x<πfx=4πk=1∞sin2k-1x2k-1 (média). Neste caso a série converge também pontualmente para f nos pontos de [-π,π], onde f está definida. Além disso, quando x=0, ±π, a série obviamente converge para zero, embora f n?o esteja definida nesses pontos.Teorema: seja f uma fun??o continuamente diferenciável por partes em cp[-π,π]. Ent?o, o desenvolvimento em série de Fourier de f converge pontualmente [-π,π], e tem o valor:fx0++f(x0-)2 em cada ponto x0 do interior do intervalo, e f(-π+)+f(π-)2 em ± π.Obs: fx0++f(x0-)2 é a média dos limites à esquerda e a direita de f em x0, e é igual a f(x0) quando x0 é um ponto de continuidade de f.1371600-114300Assim podemos afirmar que a série:4πk=0∞sin2k-1x2k-a=4πsinx+sin3x3+sin5x5+… converge pontualmente no intervalo [-π,π] para:-π se –π < x < 0Ou se x = - π,0,πOu se 0 < x < πConvergência absoluta e uniforme:Teorema: seja f uma fun??o contínua em (-π,π), com período 2π, e suponhamos que f tenha derivada primeira contínua por partes. Ent?o a série de Fourier de f converge uniformemente e absolutamente para f em todo intervalo fechado do eixo x.Teorema: Seja f continuamente diferenciável por partes e periódica em (-∞,∞) com período 2π. Ent?o a série de Fourier de f converge uniformemente para f em qualquer intervalo fechado do eixo x que n?o contenha ponto de descontinuidade de f.Conclus?oAs Séries de Fourier para fun??es de duas variáveis independentes conserva todas as equa??es das Séries para fun??es de uma variável. Isso nos permite imaginar que as equa??es n?o s?o mantidas somente da forma simples para a dupla, mas sim, para séries de qualquer dimens?o. Ou seja, poderemos imaginar que a equa??o geral para Série de Fourier é: f(xi,…,xj)=i,…,j=0∞αi,…,jhi,…,j e o cálculo dos coeficientes de Fourier é: αi,…,j=fxi,…,xj,hi,…,jhi,…,j2. Portanto, a utiliza??o das Séries de Fourier é ampliada pelo fato de podermos utilizá-la para fun??es de um número qualquer de variáveis, podendo representar assim, uma gama de fun??es periódicas. Referências BibliográficasIntrodu??o à Análise Linear, R. KReider, D.R. STBERG, R.C. KULLER E F.W.PERKINS – EDITORA UNB AO LIVRO T?CNICO, RJ, 1972Notas de Aula, Séries de Fourier, A.S. DE ASSIS 2010Apostila Séries de Fourier, R.O. SACRAMENTO, 1980CONVERG?NCIA DAS S?RES DE FOURIER E S?RIE DUPLA DE FOURIERDaniela Pacheco Le?o Chaves ResumoA teoria das séries de Fourier é formulada no domínio da teoria dos espa?os vetoriais munidos de produto-interno. Apesar de haver analogias com a Geometria Analítica elementar, a teoria das séries de Fourier n?o é simples porque os espa?os de fun??es têm (geralmente) dimens?o infinita. A motiva??o física para o estudo das séries de Fourier é que elas têm diversas aplica??es importantes, particularmente na resolu??o de equa??es diferenciais parciais. Além disso, servem para representar o comportamento de fun??es periódicas e de ondas eletromagnéticas. O método segue o princípio da utiliza??o das fun??es senos e cossenos como bases vetoriais para a extens?o de fun??es periódicas. No caso em que as fun??es a serem estendidas possuem duas variáveis independentes, é necessária a aplica??o da série em sua forma dupla.As Séries de FourierFun??es periódicas:Uma fun??o f(x) é dita periódica com um período T se f(x - nT) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x + NT) = f(x) para n inteiro n = 0, ±1, ±2, ...Série Trigonométrica:? uma série de fun??es cujos termos s?o obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x (bases) por coeficientes, que n?o dependem da variável x e s?o admitidos reais, mas que variam de acordo com a posi??o de cada termo.12a0+a1cosx+a2cos2x+…+b1sinx+b2sin2x+… ou12a0+n=1∞ancosnx+bnsinnxSendo esta série de fun??es, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma fun??o da variável independente e como os termos da série s?o formados por fun??es trigonométricas (periódicas de período 2π), a soma S(x), ou seja, a fun??o extendida será uma fun??o periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π,π) ou (0,2π).As fun??es periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica em sua forma mais geral (simples):.fx=12a0+n=1∞ancosnx+bnsinnx ouCONVERG?NCIA DAS S?RES DE FOURIER E S?RIE DUPLA DE FOURIERBruno César Tomaz de Matos ResumoA teoria das séries de Fourier é formulada no domínio da teoria dos espa?os vetoriais munidos de produto-interno. Apesar de haver analogias com a Geometria Analítica elementar, a teoria das séries de Fourier n?o é simples porque os espa?os de fun??es têm (geralmente) dimens?o infinita. A motiva??o física para o estudo das séries de Fourier é que elas têm diversas aplica??es importantes, particularmente na resolu??o de equa??es diferenciais parciais. Além disso, servem para representar o comportamento de fun??es periódicas e de ondas eletromagnéticas. O método segue o princípio da utiliza??o das fun??es senos e cossenos como bases vetoriais para a extens?o de fun??es periódicas. No caso em que as fun??es a serem estendidas possuem duas variáveis independentes, é necessária a aplica??o da série em sua forma dupla.As Séries de FourierFun??es periódicas:Uma fun??o f(x) é dita periódica com um período T se f(x - nT) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x + NT) = f(x) para n inteiro n = 0, ±1, ±2, ...Série Trigonométrica:? uma série de fun??es cujos termos s?o obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x (bases) por coeficientes, que n?o dependem da variável x e s?o admitidos reais, mas que variam de acordo com a posi??o de cada termo.12a0+a1cosx+a2cos2x+…+b1sinx+b2sin2x+… ou12a0+n=1∞ancosnx+bnsinnxSendo esta série de fun??es, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma fun??o da variável independente e como os termos da série s?o formados por fun??es trigonométricas (periódicas de período 2π), a soma S(x), ou seja, a fun??o extendida será uma fun??o periódica de período 2π. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π, por exemplo: (-π,π) ou (0,2π).As fun??es periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica em sua forma mais geral (simples):.fx=12a0+n=1∞ancosnx+bnsinnx ou ................
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