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engenhariaestacio.Wildson cruzEXERC?CIOS:As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:1 2 3 4 5 6 6 7 7 82 3 3 4 5 6 6 7 8 82 3 4 4 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 6 7 8 92 3 4 5 5 6 7 7 8 9a) Complete a distribui??o de freqüência abaixo:iNOTASxifi12340 ├ 22 ├ 44 ├ 66 ├ 858 ├10∑fi=50b) Agora, responda:1. Qual a amplitude amostral?2. Qual a amplitude da distribui??o?3. Qual o número de classes da distribui??o?4. Qual o limite inferior da quarta classe? 5. Qual o limite superior da classe de ordem 2?6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe? c) Complete:1. h3 =2. n =3. li =4. L3 =5. x2 =6. f5 =3.2 – S?RIES ESTAT?STICAS: Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribui??o de um conjunto de dados estatísticos em fun??o da época, do local ou da espécie.Daí podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elemento ou fatores: o tempo, o espa?o e a espécie. Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em histórica, geográfica e específica.3.2.1 - Séries históricas, cronológicas, temporais ou marcha: Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo variáveis.Exemplo:Tabela 1PRODU??O DE FERTILIZANTESFOSFATADOS – BRASIL1985 – 1989ANOSQUANTIDADE (t)198519861987198819893.570.1154.504.2015.448.8354.373,2264.024.813FONTE: Associa??o Nacional para Difus?oDe adubos e Corretivos Agrícolas.3.2.2 - Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localiza??o:Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados segundo regi?es. Exemplo:Tabela 2PRODU??O DE OVOS DE GALINHANO BRASIL - 1988REGI?OQUANTIDADE(1.000 dúzias)NorteNordesteSudesteSulCentro-Oeste66.092356.810937.463485.098118.468FONTE: IBGE.3.2.3 - Séries específicas ou categóricas:Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados segundo especifica??es ou categorias. Exemplo:Tabela 3REBANHOS BRASILEIROS - 1988ESP?CIEQUANTIDADE(1.000 cabe?as)BovinosBubalinosEqüinosAsininosMuaresSuínosOvinosCaprinosCoelhos139.5991.1815.8551.3041.98432.12120.08511.313909FONTE: IBGE.3.2.4 - Séries Conjugadas (Tabela de dupla entrada):Muitas vezes temos necessidade de apresentar, em uma única tabela, a varia??o de valores de mais de uma variável, Istoé, fazer uma conjuga??o de duas ou mais séries. Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classifica??o: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna).Exemplo:Tabela 4TELEFONES INSTALADOS NO BRASIL1987 a 1989REGI?O198719881989NorteNordesteSudesteSulCentro-Oeste373.3121.440.5318.435.3082.106.145849.013403.7121.567.0068.892.4092.192.762849.401457.7411.700.4678.673.6602.283.581944.075Total13.158.30913.905.29014.059.524FONTE: IBGE.A conjuga??o, no exemplo dado, foi série geográfica com série histórica, que dá origem à série geográfico-histórica ou geográfico-temporal.Pode existir, se bem que mais raramente, pela dificuldade de representa??o, séries compostas de três ou mais entradas. 3.3 – DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS: Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipula??o sen?o a contagem ou medida, s?o chamados dados absolutos. A leitura dos dados absolutos é sempre enfadonha e inexpressiva; embora esses dados traduzam um resultado exato e fiel, n?o têm a virtude de ressaltar de imediato as suas conclus?es numéricas. Daí o uso imprescindível que faz a Estatística dos dados relativos. Dados relativos s?o o resultado de compara??es por quocientes (raz?es) que se estabelecem entre dados absolutos, e têm por finalidade real?ar ou facilitar as compara??es entre quantidades. Traduzem-se dados relativos, em geral, por meio de porcentagens, índices, coeficientes e taxas. 3.3.1 - As porcentagens:Consideremos a série:Tabela 6MATR?CULAS NAS ESCOLASDA CIDADE A - 1990CATEGORIAN° DE ALUNOS1° Grau2° Grau3° Grau19.2861.681234Total21.201FONTE: dados fictícios.Calculemos as porcentagens dos alunos de cada grau:1° Grau = 19.286 x 100 / 21.201 = 90,96 ou 91,0%2° Grau = 1.681 x 100 / 21.201 = 7,92 ou 7,9%3° Grau = 234 x 100 / 21.201 = 1,10 ou 1,1%Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na série em estudo:Tabela 7MATR?CULAS NAS ESCOLASDA CIDADE A - 1990CATEGORIAN° DE ALUNOS%1° Grau2° Grau3° Grau19.2861.68123491,07,91,1Total21.201100,0 FONTE: dados fictícios.Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da cidade A, 91 est?o matriculados no 1° Grau, 8 aproximadamente, no 2° Grau e 1 no 3° Grau.O emprego da porcentagem é de grande valia quando é nosso intuito destacar a participa??o da parte no todo. Consideremos, agora, a série:Tabela 8MATR?CULAS NAS ESCOLASDA CIDADE A e B - 1990CATEGORIAN° DE ALUNOSCIDADE ACIDADE B 1° Grau2° Grau3° Grau19.2861.68123438.6603.399424Total21.20142.483 FONTE: dados fictícios.Qual das cidades tem, comparativamente, maior número de alunos em cada grau?Como o número total de alunos é diferente nas duas cidades, n?o é fácil concluir a respeito usando os dados absolutos. Porém, usando as porcentagens, tal tarefa fica bastante facilitada. Assim, acrescentando na tabela anterior as colunas correspondentes às porcentagens, obtemos:Tabela 9MATR?CULAS NAS ESCOLASDA CIDADE A e B - 1990CATEGORIACIDADE ACIDADE BN° ALUNOS%N° DE ALUNOS%1° Grau2° Grau3° Grau19.2861.68123491,07,91,138.6603.39942491,08,01,0Total21.201100,042.483100,0 FONTE: dados fictícios.O que nos permite dizer que, comparativamente, contam, praticamente, com o mesmo número de alunos em cada grau. Nota: Do mesmo modo que tomamos 100 para base de compara??o, também podemos tomar um outro número qualquer, entre os quais destacamos o número 1. ? claro que, supondo o total igual a 1, os dados relativos das parcelas ser?o todos menores que 1. Em geral, quando usamos 100 para base, os dados s?o arredondados até a primeira casa decimal; e quando tomamos 1 por base, s?o arredondados até a terceira casa decimal. Tabela 10MATR?CULAS NAS ESCOLASDA CIDADE A - 1990ESCOLASN° DE ALUNOSDADOS RELATIVOSPOR 1POR 100ABCDEF1752222023622805400,0980,1250,1130,2030,1580,3039,812,511,320,315,830,3Total1.7811,000100,0 FONTE: dados fictícios.Cálculos: A = 175 x 1 / 1781 = 0,098ou A = 175 x 100 / 1.781 = 9,8...3.3.2 - ?ndices:Os índices s?o raz?es entre duas grandezas. S?o exemplos de índices:- ?ndice cefálico = di?metro transverso do cr?nio / di?metro longitudinal do cr?nio x 100.- Quociente intelectual (QI) = idade mental / idade cronológica x 100.- Densidade demográfica = popula??o / superfície- ?ndices econ?micos:- Produ??o per capita = valor total da produ??o / popula??o- Consumo per capita = consumo do bem / popula??o- Renda per capita = renda / popula??o- Receita per capita = recita / popula??o.3.3.3 - Os Coeficientes:S?o raz?es entre o número de ocorrências e o número total (número de ocorrências e número de n?o-ocorrências).S?o exemplos de coeficientes:- Coeficiente de natalidade = número de nascimentos / popula??o total. - Coeficiente de mortalidade = número de óbitos / popula??o total. - Coeficientes educacionais:- Coeficiente de evas?o escolar = n° de alunos evadidos / n° inicial de matrículas. - Coeficiente de aproveitamento escolar = n° de alunos aprovados / n° final de matrículas. - Coeficiente de recupera??o escolar = n° de alunos recuperados / n° de alunos em recupera??o.3.3.4 - As taxas:S?o os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000) para tornar o resultado mais inteligível. S?o exemplos de taxas:- Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1.000- Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1.000. - Taxa de evas?o escolar = coeficiente de evas?o escolar x 100. Exercício:O Estado A apresentou 733.986 matrículas na 1° série, no início do ano de 1989, e 683.816 no fim do ano. O Estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matrículas. Qual o Estado que apresentou maior evas?o escolar?A - (TEE) = 733.986 – 683.816 / 733.986 x 100 = 0,0683 x 100 = 6,83 ou 6,8%B - (TEE) = 436.127 – 412.457 / 436.127 x 100 = 0,0542 x 100 = 5,42 ou 5,4%.O Estado que apresentou maior Taxa de Evas?o Escolar foi o A.4.2 – DIAGRAMAS:Os diagramas s?o gráficos geométricos de, no máximo, duas dimens?es; para sua constru??o, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.Dentre os principais diagramas, destacamos:4.2.1 - Gráfico em linha:Esse tipo de gráfico utiliza-se da linha poligonal para representar a série estatística.O gráfico em linha constitui uma aplica??o do processo de representa??o das fun??es num sistema de coordenadas o sabemos, nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares; as retas s?o os eixos coordenados e o ponto de intersec??o, a origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas (eixo dos x) e o vertical, eixo das ordenadas (ou eixo dos y).Para tornar bem clara a explana??o, consideremos a seguinte série:Tabela 11PRODU??O DE VE?CULOS DEAUTOPROPULS?OBRASIL – 1984 a 1989ANOSQUANTIDADE(1.000 unidades)1984198519861987198819898659671.0569201.069513FONTE: ANFAVEA.Vamos tomar os anos como abscissas e as quantidades como ordenadas. Assim, um ano dado (x) e a respectiva quantidade (y) formam um par ordenado (x, y), que pode ser representado num sistema cartesiano. Determinados, graficamente, todos os pontos da série, usando as coordenadas, ligamos todos esses pontos, dois a dois, por segmentos de reta, o que irá nos dar uma poligonal, que é o gráfico em linha correspondente à série em estudo. 4.2.2 - Gráfico em colunas ou em barras:? a representa??o de uma série por meio de ret?ngulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Quando em colunas, os ret?ngulos têm a mesma base e as alturas s?o proporcionais aos respectivos dados.Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos ret?ngulos e os dados estatísticos. Exemplos:a) Gráfico em colunas:Tabela 12CONSTRU??O DE AERONAVESBRASIL – 1984 a 1989ANOSQUANTIDADE(1.000 unidades)198419851986198719881989184171167203199197FONTE: EMBRAER.FONTE: EMBRAERb) Gráfico em Barras:Tabela 13PRODU??O DE ALHOBRASIL – 1988ESTADOSQUANTIDADE(t)Santa CatarinaMinas GeraisRio Gde do SulGoiásS?o Paulo13.97313.3896.8926.1304.179FONTE: IBGEFONTE: IBGENotas:Sempre que os dizeres a serem inscritos s?o extensos, devemos dar preferência ao gráfico de barras (séries geográficas e específicas). Porém, se ainda assim preferirmos o gráfico em colunas, os dizeres dever?o ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrário. A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica. A dist?ncia entre as colunas (ou barras), por quest?es estéticas, n?o deverá ser menor que a metade nem maior que os dois ter?os da largura (ou da altura) dos ret?ngulos. 4.2.3 - Gráfico em colunas ou barras múltiplas:Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais fen?menos estudados com o propósito de compara??o.(Tabela de dupla entrada).Exemplo:Tabela 14BALAN?A COMERCIALBRASIL – 1984 - 88ESPECIFICA??OVALOR (US$ 1.000.000)19841985198619871988Exporta??oImporta??o27.00513.91625.63913.15322.34814.04426.22415.05233.78914.605FONTE: Ministério da EconomiaFONTE: Ministério da Economia 4.2.4 - Gráfico em setores: (Pizza)Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participa??o do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas s?o as partes.Os setores s?o tais que suas áreas s?o respectivamente proporcionais aos dados da série. Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360°. Exemplo: Dada a série:Tabela 15REBANHOS BRASILEIROS1988ESP?CIEQUANTIDADE(milh?es de cabe?as)BovinosSuínosOvinosCaprinos140322011Total203 FONTE: IBGETemos:203 : 360° :: 140 : X1 => X1 = 140 x 360 / 203 => X1 = 248,2 ou 248° X2 = 56,7 ou 57°X3 = 35,4 ou 35°X4 = 19,5 ou 20° FONTE: IBGENotas:O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados. Se a série já apresenta os dados percentuais, obtemos os respectivos valores em graus multiplicando o valor percentual por 3,6.4.2.5 -. Gráfico Polar:? o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, isto é, séries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade, como, por exemplo, a varia??o da precipita??o pluviométrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia, a arrecada??o da Zona Azul durante a semana, o consumo de energia elétrica durante o mês ou o ano, o número de passageiros de uma linha de ?nibus ao longo da semana etc.O gráfico polar faz uso do sistema de coordenadas polares. Exemplo: Dada a série:Tabela 16PRECIPITA??O PLUVIOM?TRICAMUNIC?PIO DE PORTO ALEGRE – 1995MESESPRECIPITA??O (mm)JaneiroFevereiroMar?oAbrilMaioJunhoJulhoAgostoSetembroOutubroNovembroDezembro174,836,983,9462,7418,1418,4538,7323,839,766,183,3201,2FONTE: IBGETra?amos uma circunferência de raio arbitrário (damos preferência ao raio de comprimento proporcional à média dos valores da série. Neste caso, Ma = 124,5);Construímos uma semi-reta partindo de 0 (pólo) e com uma escala (eixo polar);Dividimos a circunferência em tantos arcos quantas forem as unidades temporais;Tra?amos, a partir do centro 0 (pólo), semi-retas passando pelos pontos da divis?o;Marcamos os valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar);Ligamos os pontos encontrados com segmentos de reta;Se pretendemos fechar a poligonal obtida, empregamos uma linha interrompida. Assim, para nosso exemplo, temos: FONTE: IBGE4.2.6 - Cartograma: O Cartograma é a representa??o sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. Distinguimos duas aplica??es:Representar dados absolutos (popula??o) – neste caso lan?amos m?o, em geral, dos pontos, em número proporcional aos dados. Representar dados relativos (densidade) – neste caso lan?amos m?o, em geral de hachuras.Exemplo:Tabela 17POPULA??O PROJETADA DA REGI?O SUL DO BRASIL1990ESTADOPOPULA??O(hab)?REA(Km2)DENSIDADEParanáSanta CatarinaRio Grande do Sul9.137.7004.461.4009.163.200199.32495.318280.67445,846,832,6FONTE: IBGE INCLUDEPICTURE "(somente).PNG" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "(somente).PNG" \* MERGEFORMATINET 4.2.7 - Pictograma:O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representa??o gráfica consta de figuras.Exemplo:Tabela 18POPULA??O DO BRASIL1950 - 1980ANOSHABITANTES(milhares)195019601970198051.94470.19193.139119.071FONTE: IBGEPOPULA??O DO BRASIL1950 – 19801950 1960 1970 1980Cada símbolo representa 10.000.000 de habitantesFONTE: IBGENa verdade, o gráfico referente à tabela acima é essencialmente um gráfico em barras; porém, as figuras o tornam mais atrativo, o que, provavelmente, despertará a aten??o do leitor para o seu exame. Na confec??o de gráficos pictóricos temos que utilizar muita criatividade, procurando obter uma otimiza??o na uni?o da arte com a técnica. 5.3.1 - Classe Classes de freqüência ou simplesmente classes s?o intervalos de varia??o da variável.As classes s?o representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3,...k (onde k é o número total de classes da distribui??o).Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 ├ 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribui??o e formada de seis classes, podemos afirmar que k = 6.5.3.2 - Limites de classeDenominamos limites de classe os extremos de cada classe.O menor número é o limite inferior da classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Li).Na segunda classe, por exemplo, temos: l2 = 154 e L2 = 158. Nota: Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resolu??o 886/66 do IBGE, em termos de desta quantidade até menos aquela, empregando, para isso, o símbolo ├ (inclus?o de li e exclus?o de Li). Assim, o indivíduo com uma estatura de 158 cm está incluído na terceira classe (i = 3) e n?o na segunda. 5.3.3 - Amplitude de um intervalo de classe: (hi) Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe.Ela é obtida pela diferen?a entre os limites superiores e inferiores dessa classe e indicada por hi. Assim: hi = Li – liNa distribui??o da tabela 4, temos:h2 = L2 – l2=>h2 = 158 – 154 => h2 = 4 cm5.3.4 - Amplitude total de distribui??o: (AT)Amplitude total da distribui??o (AT) é a diferen?a entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo):AT = L (máx.) – l (mín.)Em nosso exemplo, temos:AT = 174 – 150 = 24 cm? evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a rela??o:AT / hi = k.Trocando por números do nosso exemplo: 24 / 4 = 6.5.3.5 - Amplitude amostral: (AA)Amplitude amostral (AA) é a diferen?a entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra:AA = x(máx.) – x(mín.)Em nosso exemplo, temos: AA = 173 – 150 => AA = 23 cm. Observe que a amplitude total de distribui??o jamais coincide com a amplitude amostral.5.3.6 - Ponto médio de uma classe: (xi)Ponto médio de uma classe (xi) e, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.Para obtermos o ponto médio de uma classe, calculamos a média aritmética das de cada intervalo de classe.xi = li + Li / 2Assim, o ponto médio da segunda classe, em nosso exemplo, é:x2 = l2 + L2 /2 => x2 =154 +158 / 2 => x2 = 156 cm.5.3.7 - Freqüência simples ou absoluta:Freqüência simples ou freqüência absoluta ou, simplesmente freqüência de uma classe ou de um valor individual é o número de observa??es correspondente a essa classe ou a esse valor.A freqüência simples é simbolizada por fi (lemos f índice i) ou freqüência da classe i.Assim, em nosso exemplo, temos: f1 = 4; f2 = 9; f3 = 11; f4 = 8; f5 = 5; f6 = 35.3.8 - Classe de Maior Freqüência e classe de menor freqüência:Denomina-se classe de maior freqüência ou modal àquela em que se verifica o maior número de freqüências, e analogamente, de menor freqüência àquela em que se verifica o menor número de freqüências.No nosso exemplo, a maior freqüência se verifica no intervalo de classe 3 porque nele est?o incluídos o maior número de alunos e a menor freqüência no intervalo de classe 6, onde est?o incluídos o menor número de alunos. A soma de todas as freqüências é representada pelo símbolo do somatório:k∑ fii = 1 ? evidente que: k∑ fi = n i = 1Para a distribui??o em estudo, temos: 6∑ fi = 40i = 1N?o havendo possibilidade de engano, usamos: ∑ fi = 40Podemos, agora, dar à distribui??o de freqüência das estaturas dos quarenta alunos do Colégio A, a seguinte representa??o tabular técnica:TABELA 5ESTATURA DE 40 ALUNOSDO COL?GIO AiESTATURAS(cm)fi123456150 ├ 154154 ├ 158158 ├ 162162 ├ 166166 ├ 170170 ├ 1744911853Total∑ fi = 40 ................
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