FUNCIÓN LINEAL



FUNCIÓN LINEAL

En el cuadernillo de ingreso se estudió en particular funciones de magnitudes proporcionales. En aquella oportunidad te entrenaste en tratar situaciones mediante modelos gráficos y algebraicos. Vale decir, confeccionaste tablas, gráficos y manipulaste expresiones algebraicas del tipo y = 0,8x. Este capítulo trata todas las situaciones cuya gráfica resulten rectas.

Para iniciar, abordemos una situación de magnitud directamente proporcional que te permita recordar lo aprendido.

Situación: Una capacitación sobre Técnicas Innovadoras de Manejo del Instrumental Quirúrgico se cobra $35 por persona. Tomemos como x a la Cantidad de Personas que se inscribieron y abonaron el curso, e y la Recaudación total de dinero.

a) Confecciona una tabla que relacione la Recaudación según la Cantidad de personas.

b) Grafica la función.

c) Determina la expresión algebraica para la función.

d) El alquiler del salón donde dictar el curso sale $400. ¿Cuántas personas deben inscribirse, cómo mínimo, para cubrir este gasto?

a) La Cantidad de Personas que se inscriban al curso podrían ser 0, 1, 2, 3, ... . Si por cada una da ellas ingresa $35, cuando sean 2 las inscriptas se habrá recaudado $35 x 2; si son 3, $35 x 3, etc. Con estos razonamientos ya podemos ir confeccionando la tabla:

|X:Per|0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |

|sonas| | | | | | | |

|y |500 |1,5·50+500= |1,5·100+500= |1,5·150+500= |1,5·200+500= |…. |…. |

| | |575 |650 |725 |800 | | |

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:

1) Completa la tabla con los cálculos y resultados faltantes.

2) ¿Corresponde esta relación a una de magnitudes directamente proporcionales o inversamente proporcionales?

El gráfico resultante es:

[pic]

El gráfico de una función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el (0 ; 0) del sistema de ejes coordenados. La gráfica resultantes de la situación es una recta, pero no pasa por el (0 ; 0) sino por el (0;500). Luego, no es una función de proporcionalidad directa.

Si observamos las cuentas que nos lleva a la obtención de y, podemos deducir la expresión algebraica de la función:

y = f( x) = 1,5·x + 500

Situación: Una familia a lo largo de los meses del año 2002 logró mantener fijo su gasto de luz en $25, a pesar de la incidencia del tiempo.

Si llamamos x a los meses del año e y al gasto de luz por mes, la tabla para esta situación sería:

|X |1 |

|0 |18000 |

|1 |15100 |

|2 |12200 |

|3 |9300 |

|4 |6400 |

|5 |3500 |

|6 |600 |

Para obtener 15 100, hicimos 18000-2900; para obtener 12200, hicimos 15100-2900; y así continuamos hasta el final de la tabla

Grafiquemos valor del vehículo en función de los años:

[pic]

En el gráfico vemos que la ordenada al origen es 18000, pero ¿la pendiente?

La pendiente de la recta se define como la razón de la elevación al recorrido. De aquí:

[pic]

Entonces la pendiente de la recta es -2900.

Como tenemos los dos valores importantes de la recta, k y b, podemos dar la ecuación de la recta correspondiente a la gráfica y la tabla:

y = f ( x ) = - 2900 x + 18000

Situación: Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Estudia la demanda del público que tiene este comerciante, en función del precio.

Llamemos x a la cantidad de rasuradoras que el público le compra, e y al precio por unidad de las rasuradoras. Con la información de la situación podemos armar la tabla:

|X |Y |

|(Nº de rasuradotas) |($) |

|20 |25 |

|30 |20 |

Llevemos estos dos puntos a un sistema de ejes coordenados:

[pic]

Cuando el precio pasa de $25 a $20, la cantidad de rasuradoras compradas pasa de 20 a 30. Es decir, hay un descenso del número de rasuradoras demandadas a medida que el precio se incrementó.

Situación: Traza la recta que pase por los pares ordenados (20; 30) y (25; 20). ¿Cuál es la pendiente de la recta?

La pendiente de la recta = [pic]

Significa que por cada $1 que baje el precio de las rasuradora eléctricas su venta se incrementará a razón de 2.

Situación: Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos (20; 35) y (30; 20).

Como ya tenemos la pendiente, es [pic], el problema se reduce a encontrar la ordenada, b.

La ecuación de la recta correspondiente a la gráfica será del tipo:

Y = f (x) = k · x + b

La pendiente ya es dato, reemplacemos a k por el valor de la pendiente.

Y = f (x) = [pic] x + b

Pero esta ecuación es la que corresponde a la tabla:

|X |Y |

|(Nº de rasuradotas) |$ |

|20 |25 |

|30 |20 |

Si reemplazamos en la fórmula a x = 20, el valor que deberíamos obtener para y es 25

Y =[pic] · x + b

25 = [pic] · 20 + b

20 = - 10 + b

Despejemos b:

20 + 10 = b

30 = b

La ecuación de la recta será: y = f (x) = [pic]x + 30

[pic]

D- Procedimiento para hallar la ecuación de la recta conociendo dos puntos:

Repasemos lo que hicimos en los dos últimos ejemplos. Teníamos que hallar la ecuación de la recta y nos daban como datos los pares ordenados (x1 ; y1 ) y (x2 ; y2 ).

Para dar la ecuación de la recta necesitamos hallar los valores de k y b.

Expliquemos como procedimos:

1º) Primero calculamos k.

2º) Planteamos la expresión general de la ecuación de la recta y = k · x + b

3º) Reemplazamos el valor de k encontrado en 1º), en la expresión de la ecuación de la recta del 2º).

4º) Reemplazamos en la expresión de la recta a x por x1, a y por y1.

5º) Nos quedó una ecuación donde b es la incógnita a descubrir. Despejamos b y precisamos su valor.

6º) Reemplazamos el valor de k y de b hallados en la ecuación de la recta 2º). Aquí quedó escrito lo requerido por el ejercicio.

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:

6)

a) Marca los puntos (-2; 1) y (1; 7) en un sistema de ejes coordenados.

b) Traza la recta que pase por esos dos puntos.

c) Encuentra la pendiente de la recta que pase por esos dos puntos.

d) Expresa la ecuación de la recta que corresponda a esa tabla.

e) Confecciona una tabla con al menos 5 renglones. Toma otros valores de x distintos a -2 y 1.

f) Verifica que esos nuevos 5 pares ordenados gráficamente quedan sobre la recta trazada en b).

7)

a) Grafiquen las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:

I. (-1; 4) y (3; 2)

II. (2; 5) y ( -2; -1)

III. (2; 5) y ( -1; 5)

b) Indiquen la pendiente y la ordenada al origen de cada una.

8) Las ventas totales de una compañía se pueden aproximar mediante una función lineal del tiempo (en años). Las ventas en 1990 fueron de $2,4 millones, mientras que en 1995 ascendieron a $7,4 millones.

a) Halla la ecuación que de las ventas de la compañía como función del tiempo.

b) ¿Cuáles fueron las ventas en 1993?

E- Gráfico de una recta dadas su pendiente y su ordenada al origen.

Si conocemos la pendiente y ordenada al origen de la recta no es útil para graficarla.

Veamos cómo hacerlo con la función y = 3 x – 1

La pendiente es 3, y la ordenada al origen es -1. La pendiente podemos expresarla en forma fraccionaria:

La pendiente = 3 = [pic]

1º) Como la ordenada al origen es -1, la recta cortará al eje y en (0; -1). Marca ese punto en el gráfico.

[pic]

2º) Como la pendiente es 3, significa que por cada una unidad que crece x, y crece 3. Entonces desde el punto que marcamos antes avanzamos 1 unidad, no movemos una unidad hacia la derecha en sentido horizontal, y a continuación 3 unidades hacia arriba, en sentido vertical. Allí marcamos otro punto.

[pic]

3º) Marcamos la recta que pase por esos dos puntos.

Veamos otro ejemplo: [pic]. La ordenada al origen es -2 y la pendiente es la fracción [pic].

1º) Marcamos la ordenada -2 sobre el eje y, como un punto.

2º) Desde allí nos desplazamos 2 unidades hacia delante en sentido horizontal, luego 3 unidades hacia arriba en sentido vertical. Marcamos un segundo punto.

[pic]

3º) Trazamos la recta que pasa por esos dos puntos.

Si la recta a graficar fuera y = -3x – 1, la ordenada al origen es -1 y la pendiente es -3. Expresando la pendiente en forma de fracción sería: [pic].

1º) Marcamos el punto (0; -1).

2º) Desde el lugar (0; -1) avanzamos 1 unidad en sentido horizontal y luego bajamos 3 unidades en sentido vertical. Allí marcamos el segundo punto.

3º) Traza la recta que pase por los dos puntos.

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:

9) Grafica con este procedimiento:

a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic]

F- Raíz o Cero de la función

Situación: La función que describió la ley demanda de las rasuradoras eléctricas fue:

y = [pic]+ 30

¿Para qué cantidad x el precio de la demanda se anula?

Continuando con el ejercicio, entendemos que pregunta para qué valor, x, de las rasuradora eléctricas es, y, el precio de demanda igual a 0.

Reemplazando a y por 0 en la expresión de la ecuación de la recta y = [pic]+ 30 es:

y = [pic]+ 30

0 = -[pic] x + 30

Con lo cual nos queda una ecuación de una incógnita a descubrir. Despejando x:

0 – 30 = [pic]

-30 = [pic]

[pic]

60 = x

Para una cantidad de 60 rasuradoras, el precio por unidad será 0. En la gráfica significa que la recta para por el par ordenado (60; 0). En otras palabras, la recta corta al eje x en 60.

G- Grafico de la recta por ordenada y ceros de la función.

Situación: Una empresa que elabora un solo producto quiere determinar la función que expresa el costo total anual, y, en función de la cantidad de unidades producidas, x. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $ 54.000. También han estimado que los costos de materias primas por cada unidad producida ascienden a $ 5.50 y que los de mano de obra son de $ 1.50 en el departamento de montaje por cada unidad, $ 0.75 en el cuarto de acabado por cada unidad y $ 1.25 en el departamento de empaque y embarque por unidad.

X es la cantidad de productos elaborados, o unidades fabricadas.

Y es el costo total de la empresa

La función costo total será el resultado de sumar los costos fijos a los costos variables por las unidades producidas. Los costos fijos son los que posee una empresa aunque no haya producción, esté parada. Por ejemplo, el gasto de alquiler, impuesto inmobiliario, etc. En contraposición, los costos variables, son costos que fluctúan dependiendo de la cantidad fabricada. En el caso de la situación, los costos variables constan de dos componentes: los costos de materias primas y los de mano de obra. Los costos por mano de obra se calculan al sumar los respectivos costos de mano de obra de los tres departamentos. Entonces, el costo total se define por medio de la función:

COSTO TOTAL = COSTOS VARIABLE + COSTOS FIJO

Y = (Costo materia prima + Costo Mano Obra Montaje + Costo Mano Obra acabado + Costo Mano Obra embarque) + Costo fijo

y = (5,50 x + 1,50 x + 0,75 x + 1,25 x) + 54000

y = 9 x + 50000

El 9 es la pendiente de la recta, representa el costo por unidad fabricada.

Los 54000 es la ordenada al origen, representa el costo fijo.

Al marcar la ordenada al origen sobre el eje y vemos que es necesario decidir qué escala es la adecuada. Tomemos 1cm: $9000. ¿Y para el eje x, cuál será la adecuada?

Busquemos el valor de x por el cual y es 0, o sea, el cero de la función:

Y = 9 x + 54000

0 = 9 x + 54000

0 – 54000 = 9 x

-54000 = 9 x

-54000 : 9 = x

-6000 = x

Marquemos el eje x con la escala 1cm: 1000unidades.

Para graficar por ordenada y pendiente necesitamos las escalas en los ejes de 1 en 1. Este no es el caso.

Hacemos los siguiente: marcamos en el sistema de ejes coordenados los puntos (0; 54000) y (-6000; 0). Luego trazamos la recta que atraviese esos dos puntos.

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:

10) Grafica la función costo con lápiz negro, según el procedimiento descrito.

Interpretemos esta gráfica. Nos ha quedado un trazado de la recta a la izquierda del eje y, y otro a la derecha. Por ejemplo, ha quedado el par ordenado (-6000; 0) o el (-5000; 9000) o (-4000; 18000) o (-1000; 45000) como pertenecientes a la recta y a la solución de la situación. En los casos mencionados los valores de x son negativos. Estaríamos diciendo que para una fabricación de -5000 unidades tuvimos un costo de $9000. Pero -5000 unidades es una cantidad por debajo de 0, es decir ¡no fabriqué! Una empresa fabrica o no fabrica. Si no fabrica - la variable x es 0 - y sólo tiene costos fijos, si además fabrica – la variable x toma valores positivos-, y se le suma a los costos fijos, los variables. Entonces este gráfico sólo tiene sentido para valores de x ≥ 0. Lo que hacemos es borras la parte de la recta que está a la izquierda del eje y.

ACTIVIDAD PARA EL ALUMNO:

11) Un fabricante tiene costos fijos mensuales de $ 60000 y un costo de producción unitario de $ 10. El producto se vende por $ 15 por unidad. ¿Cuál es la función de costos? Grafique dicha función.

H- Ecuación implícita de la recta.

Situación: Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer producto requiere 2 horas- máquina y cada unidad del segundo requiere 5 horas-máquina. Hay 280 hora-máquinas disponibles cada semana.

Si x representa las unidades del primer tipo e y unidades del segundo tipo que se fabrican cada semana, ¿cómo será la expresión que relaciona las incógnitas x e y con los datos 2, 5 y 280?

El total de horas-máquinas consumidas para las x unidades es: 2·x

El total de horas-máquinas consumidas para las y unidades es: 5·y

El total de horas máquinas disponibles es 280

La ecuación que relaciona x e y es: 2 x + 5 y = 280

Es una ecuación de la recta, llamada implícita; no esta dada en la forma y = k · x + b. Para transformarla a esta forma podemos comenzar por despejar y.

2 x + 5 y = 280 => 5 y = 280 – 2 x => y = [pic]

La ecuación de la recta [pic] expresa la cantidad de unidades del segundo tipo en función de la cantidad de unidades del primer tipo.

ACTIVIDADES PARA EL ALUMNOS:

12) ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa?

13) ¿Cuántas unidades del segundo producto pueden fabricarse si se producen 40 unidades del primero cada semana?

14) Interpreta el par ordenado (0; 56).

15) Calcula el cero de la función. Interpreta dicho resultado.

16) Grafica la recta sin hacer tabla. Usa alguno de los dos procedimientos descriptos.

17) ¿Para qué valores de x tiene sentido esta recta? ¿Por qué?

18) La compañía FACA fabrica productos X e Y. Cada unidad de X requiere 3 horas-trabajo y cada unidad de Y requiere 4 horas- trabajo. Hay 120 horas- trabajo disponible cada día.

a) Si x unidades de X e y unidades de Y se fabrican al día y se emplean todas las horas de trabajo, encuentre la relación entre x e y.

b) Grafique.

c) De la interpretación física de la pendiente de la relación lineal obtenida.

d) ¿Cuántas unidades de x pueden fabricarse en un día si se producen 15 unidades de Y en el mismo día?

e) ¿Cuántas unidades de Y pueden producirse en un día si se fabrican 16 unidades de X en el mismo día?

-----------------------

y = f( x )

3 - 0

9300 - 18000

25 -20

30 - 20

1

3

2

3

+

................
................

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