FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
- A função do segundo grau é um tópico da matemática que pode ser aplicado em diversas situações do nosso cotidiano, nas mais variadas áreas. Portanto, saber identificar e resolver problemas que envolvem este tipo de cálculo é fundamental para a continuidade dos nossos estudos no campo do cálculo.
1- Definição
- A função quadrática é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0.
[pic]
Exemplos
a) f(x) = x2 – 4x + 3 (a = 1, b = -4, c = 3)
b) f(x) = -4x2 – 16 (a = -4, b = 0, c = -16)
c) y = x2 – 3x (a = 1, b = -3, c = 0)
d) f(x) = -3x2 (a = -3, b = c = 0)
2- Raízes ou zeros de uma função do 2º grau
Para calcular as raízes ou os valores de x que anulam uma função do 2º grau, devemos igualar a zero a mesma transformando-a numa equação do 2º grau e, em seguida, resolvendo-a através da fórmula de Bháskara.
Exemplo:
1) Encontre as raízes de cada função abaixo:
a) y = 3x2 – 5x + 2 b) y = -x2 + 6x - 9 c) y = 2x2 – 4x + 5
d) f(x) = x2 – 5x e) y = 20x2 – 320 f) f(x) = x2 + 4
Solução:
a) y = 3x2 – 5x + 2
3x2 – 5x + 2 = 0 (a = 3, b = -5, c = 2)
- Cálculo do discriminante (delta).
[pic]
- Cálculo das raízes.
[pic]
1 e 2/3 são os únicos números que anulam a função. Logo, V = {1, 2/3}
b) y = -x2 + 6x - 9
-x2 + 6x - 9 = 0 .(-1)
x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1, b = -6, c = 9)
[pic]
3 é o único número que anula a função. Logo, V = {3}
c) y = 2x2 – 4x + 5
2x2 – 4x + 5 = 0 (a = 2, b = -4, c = 5)
[pic]
[pic] x’ e x” ( (
- Observa-se que não é possível calcular, no campo real, [pic], por ser um número que faz parte do Conjunto dos Números Complexos, logo, a equação não apresenta raízes reais, isto é, o conjunto verdade é representado pelo conjunto vazio V = ( ou { }.
* O resultado significa dizer que não existe nenhum número real que anula essa função.
d) f(x) = x2 – 5x
x2 – 5x = 0 (equação incompleta: coloca-se x em evidência)
x(x – 5) = 0
x’ = 0
ou
x – 5 = 0 [pic] x” = 5
V = {0, 5}
e) y = 20x2 – 320
20x2 – 320 = 0 (:20) (equação incompleta)
x2 – 16 = 0
x2 = 16
x = [pic]
x = [pic] [pic]
V = {4, -4}
f) f(x) = x2 + 4
x2 + 4 = 0 (equação incompleta)
x2 = -4
x = [pic] x’ e x” ( (
V = ( ou { }
Obs.: todas as equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas pela fórmula de Bháskara. Observe a resolução do exemplo anterior d.
d) f(x) = x2 – 5x
[pic]
[pic]
[pic]
V= {0, 5}
3- Gráfico de uma Função Quadrática.
[pic]
4- Cálculo do Vértice.
- Observamos acima que o vértice de uma parábola é um ponto que pode ser de mínimo, se o coeficiente de x2 for maior que zero (a > 0) ou de máximo, se for menor que zero (a < 0). Para calcular esse ponto devemos utilizar as seguintes fórmulas:
1- Abscissa do vértice: [pic] (ponto de mínimo ou de máximo da função)
2- Ordenada do vértice:[pic] (valor de mínimo ou de máximo da função)
Logo, o vértice é representado pelo ponto [pic].
Procedimentos para encontrar o vértice.
1º Procedimento
y = ax2 + bx + c [pic] fórmula geral da Função Quadrática
Isola-se ax2 + bx
y – c = ax2 + bx
Adiciona-se aos dois membros o termo [pic]
y – c + [pic] = ax2 + bx + [pic]
Resolve-se a potencia do 1º membro e coloca-se a em evidência no 2º
y – c + [pic] = a[pic]
Simplifica-se [pic] e fatorando o 2º membro (quadrado da soma de dois termos), temos:
y – c + [pic] = a[pic]
Isola-se y e determina-se o mínimo nos dois últimos termos do 2º membro
y = a[pic]+ c - [pic]
y = a[pic]- [pic] [pic]
y = a[pic]- [pic]
a) Quando a > 0, a função (y) apresenta um mínimo para [pic]= 0.
[pic]= 0
[pic] ( x = [pic] (abscissa do vértice)
Como [pic]= 0, temos.
y = a.0 - [pic] ( y = -[pic] (ordenada do vértice)
V = [pic]
b) Quando a < 0, a função (y) apresenta um máximo para [pic]= 0.
[pic]= 0
[pic] ( x = [pic] (abscissa do vértice)
Como [pic]= 0, temos.
y = a.0 - [pic] ( y = -[pic] (ordenada do vértice)
V = [pic]
3) Quando a > 0, y = -[pic] continua negativo (y < 0), logo, a função apresenta um mínimo.
4) Quando a < 0, y = -[pic] torna-se positivo (y > 0), logo, a função apresenta um máximo.
2º Procedimento
O vértice da parábola y = ax2 + bx + c pertence ao eixo de simetria (s). Então, para encontrar sua abscissa deve-se calcular o ponto médio do segmento de extremos (x’, 0) e (x”, 0) da seguinte maneira:
Para encontrar a ordenada do vértice deve-se substituir o valor da abscissa do vértice [pic]na função y = ax2 + bx + c do seguinte modo:
Então:
[pic]
Exemplo
1- As funções abaixo são do 2º grau, logo, seus gráficos são representados por parábolas. Determine o vértice de cada parábola especificando se representa ponto de máximo ou de mínimo.
a) f(x) = x2 – 9x + 20 b) y = -2x2 + 5x + 1 c) y = 3x – x2
Solução:
a) f(x) = x2 – 9x + 20 (a = 1, b = -9, c = 20)
1) Cálculo da abscissa do vértice:
[pic]
2) Cálculo da ordenada do vértice:
[pic]
[pic]
Logo, [pic]
* Como a é positivo (a = 1), dizemos que o vértice representa um ponto de mínimo.
b) y = -2x2 + 5x + 1 (a = -2, b = 5, c = 1)
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
Logo, [pic]
* Como a é negativo (a = -2), dizemos que o vértice representa um ponto de máximo.
c) y = 3x – x2 (a = -1, b = 3, c = 0)
1) [pic]
2) [pic]
[pic]
Logo, [pic]
* Como a é negativo (a = -1), dizemos que o vértice representa um ponto de máximo.
.
5- Construção de uma Parábola.
Verificou-se que para construir o gráfico de qualquer função deve-se conferir a x (variável independente) valores arbitrários, em seguida, substituem-se os mesmos na função achando valores para y (variável dependente), conseqüentemente, formando pares ordenados (x, y). Porém, para facilitar nossa tarefa, vamos colocar ordem nos valores de x, da seguinte maneira:
1- Calculam-se as raízes da função (x’ e x”);
2- Determina-se o vértice da parábola [pic];
3- Construa-se uma tabela acrescentando um valor a x menor que a menor raiz e outro maior que a maior raiz, em seguida, esboçar o gráfico.
Nota: se a equação apresentar raízes reais e iguais (x’ = x”) ou não apresentar raízes reais, deve-se atribuir a x dois valores menores e dois maiores que o valor da abscissa do vértice (xv).
Exemplo:
1- Construir o gráfico de cada função abaixo:
a) f(x) = x2 – 3x + 2 b) y = -x2 + 4x - 4 c) y = 2x2 + 4
Solução:
a) f(x) = x2 – 3x + 2
1) Cálculo das raízes.
f(x) = x2 – 3x + 2
x2 – 3x + 2 = 0 (a = 1, b = -3, c = 2)
[pic]
[pic]
2) Cálculo do vértice.
c) Construção da Tabela e do gráfico.
|x |y |(x, y) |
| 0 |2 |(0, 2) |
|1 |0 |(1, 0) |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|2 |0 |(2, 0) |
|3 |2 |(3, 2) |
[pic]
f(x) = x2 – 3x + 2
f(0) = 02 – 3.0 + 2 = 2
f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0
f(2) = 22 – 3.2 + 2 = 0
f(3) = 32 – 3.3 + 2 = 2
b) y = -x2 + 4x - 4
1) Cálculo das raízes.
-x2 + 4x – 4 = 0 (-1)
x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = -4, c = 4)
[pic]
[pic]
2) Cálculo do vértice.
3) Construção da Tabela e do gráfico.
|x |y |(x, y) |
| 0 |-4 |(0, -4) |
|1 |-1 |(1, -1) |
|2 |0 |(2, 0) |
|3 |-1 |(3, -1) |
|4 |-4 |(4, -4) |
y = -x2 + 4x - 4
y(0) = 02 + 4.0 -4 = -4
f(1) = -12 + 4.1 - 4 = -1
f(2) = -22 + 4.2 - 4 = 0
f(3) = -32 + 4.3 - 4 = -1
f(4) = -42 + 4.4 – 4 = -4
[pic]
c) y = 2x2 + 4
1) Cálculo das raízes.
y = 2x2 + 4
2x2 + 4 = 0 (equação incompleta do 2º grau)
2x2 = -4
x2 = -2
[pic]
2) Cálculo do vértice.
y = 2x2 + 4 (a = 2, b = 0, c = 4) [pic]
3) Construção da tabela e do gráfico.
|x |y |(x, y) |
| -2 |12 |(-2, 12) |
|-1 |6 |(-1, 6) |
|0 |4 |(0, 4) |
|1 |6 |(1, 6) |
|2 |12 |(2, 12) |
y = 2x2 + 4
f(-2) = 2.(-2)2 + 4 = 12
f(-1) = 2.(-1)2 + 4 = 6
f(1) = 2.12 + 4 = 6
f(2) = 2.22 + 4 = 12
[pic]
Notas:
1ª) É relevante observar que quando as raízes reais x’ e x “ são diferentes (∆ > 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos; quando as raízes reais são iguais (∆ = 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto e, quando não existirem raízes reais, a curva não intercepta a parábola.
2ª) Pontos Notáveis da Parábola.
2.1) Intersecção da parábola com o eixo das abscissas (OX): São as raízes e para calcular deve-se atribuir à variável y o valor nulo (y = 0), em seguida, resolve-se a equação encontrada.
y = ax2 + bx + c ( ax2 –bx + c = 0
2.2) Intersecção da parábola com o eixo das ordenadas (OY): Deve-se atribuir à variável x o valor nulo (x = 0) encontrando, em seguida, o valor de y.
y = ax2 + bx + c
y = a.02 + b.0 + c ( y = c
2.3) Vértice da parábola: Utiliza-se as fórmulas citadas acima, isto é, [pic] .
3ª) O domínio da função do 2º grau é o conjunto dos Reais e o conjunto imagem é [pic] se a > 0 ou [pic] se a < 0.
06- Estudo do sinal da Função do 2º Grau (ou Quadrática).
- Para estudar o sinal da função (valores de x que à torna positiva, negativa ou nula) do 2º grau f(x) = ax2 + ba + c, utiliza-se o seguinte procedimento:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Calculam-se as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X).
Exemplo:
1- Estudar o sinal de cada função:
a) y = x2 - 2x – 8 b) y = -x2 + 6x – 5 c) y = 4x2 – 4x + 1 d) y = -2x2 – 8
Solução:
a) y = x2 - 2x – 8
1) a = 1 ( a > 0
2) Iguala-se a zero a função y = x2 - 2x – 8.
x2 - 2x – 8 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
[pic]
3)
[pic]
Obs.: Os sinais + e – que aparecem no gráfico acima são sinais da função y e não de x, isto é, se substituir qualquer valor de x menor que -2 ou maior que 4 na função y = x2 - 2x – 8, o resultado (valor numérico) será sempre positivo; se substituir qualquer valor de x compreendido entre -2 e 4, o resultado da função será sempre negativo e se x assumir valor -2 ou 4 o resultado será nulo.
b) y = -x2 + 6x – 5
1) a = -1 ( a < 0
2) -x2 + 6x – 5 = 0 x(-1)
x2 6x + 5 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
[pic]
[pic]
c) y = 4x2 – 4x + 1
1) a = 4 ( a > 0
2) Iguala-se a zero a função y = 4x2 – 4x + 1.
4x2 – 4x + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:
[pic]
[pic]
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna negativa a função.
d) y = -2x2 – 8
1) a = -2 ( a < 0
2) Iguala-se a zero a função y = -2x2 – 8.
-2x2 – 8 = 0 x(-1)
2x2 + 8 = 0
Resolvendo verificamos que não temos raízes, logo, x’ e x” [pic] R.
[pic]
Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna positiva ou nula a função.
- Em regra geral, a discussão da variação de sinal de uma função quadrática recairá em um dos casos:
[pic]
[pic]
07- Inequações do 2º grau
Chama-se inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser escrita nas seguintes formas:
[pic] (a ( 0).
A resolução de uma inequação do 2º grau pode ser feita da seguinte maneira:
1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.
2) Transforma-se a inequação do 2º grau numa equação (= 0) calculando em seguida, as raízes.
3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X) escolhendo o intervalo que satisfaz a inequação.
Exemplo:
1- Resolva as inequações:
a) x2 – 8x + 12 > 0 b) -3x2 + 6 ( 0 c) x2 – 6x + 9 < 0 d) -2x2 – 8 ( 0 e) (x2 – 9).(x2 – 4x) ( 0 f) [pic]
Solução:
a) x2 – 8x + 12 > 0
a.1) a = 1 ( a > 0
a.2) x2 – 8x + 12 = 0
[pic]
[pic]
b) -3x2 + 6 ( 0
b.1) a = -3 ( a < 0
b.2) -3x2 + 6 = 0
[pic]
[pic]
c) x2 – 6x + 9 < 0
[pic]
d) -2x2 – 8 ( 0
d.1) a = -2 ( a < 0
d.2) -2x2 – 8 = 0
[pic]
[pic]
e) (x2 – 9).(x2 – 4x) ( 0 (Inequação produto)
f(x) = x2 – 9 g(x) = 2x2 – 8x
1) a = 1 ( a > 0 1) a = 2 ( a > 0
2) x2 – 9 = 0 2) 2x2 – 8x = 0
[pic] [pic]
[pic]
- Observa-se que é utilizado o jogo de sinal em relação ao produto.
f) [pic]
f(x) = x2 – 4x – 5 g(x) = -x2 + 3x
1) a = 1 ( a > 0 1) a = -1 ( a < 0
2) x2 – 4x – 5 = 0 2) -x2 + 3x ( 0
[pic] [pic] (raízes do denominador)
[pic]
- Observa-se que é utilizado o jogo de sinal em relação ao quociente.
EXERCÍCIOS
1- Verifique quais das funções reais abaixo são do segundo grau e, em seguida, determine os seus coeficientes (a, b,c):
a) f(x) = 4x.(x – 3) b) y = (2x – 3)2 – 4 c) f(x) = x.(x – 2)2
d) y = (x – 4).(4 – x) e) x3 – (x - 1)3
Resposta:
a) (a = 4,, b = -12 e c =0) b) (a = 4, b = -14 e c 5)
d) (a = -1, b = 8 e c = -16) e) (a = 3, b = -3 e c = 1)
2- Dada a função quadrática f(x) = -3x2 + 4x – 3, determine:
a) f(-2) b) f(2) c) f([pic] d) f(t – 2) e) f(2p2)
f) f(0) g) x de modo que f(x) = -3 h) 3f(2) – 4f(-1)
Resposta:
a) -23 b) -7 c) 4(-3 + √3) d) -3t2 + 16.t – 23
d) -12.p4 e) 0, 4/3 f) 19
3) Determine, se existirem, as raízes das funções abaixo:
a) f(x) = x2 -8x + 7 b) y = -x2 - 4x + 5 c) f(x) = (x – 3)2 – 9
d) f(x) = 3x2/5 + 3 e) y = 100x2 + 700x + 1000
Resposta:
a) 7e 1 b) 1, -5 c) 6 e 0 d) { } e) -2 e -5
4) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.
R) S(x) = 600 - 4x²
5- (UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo. (4 seg)
b) a altura atingida pela bola. (8 metros)
6- As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, qual o valor de b - c?
R) 26
7- (Enem – 2017) A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
[pic]
SOLUÇÃO
Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar a parábola no eixo cartesiano, conforme figura abaixo.
[pic]
Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano cartesiano. Assim, notamos que a altura representa o ponto (0, yH).
Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas raízes da função e que o ponto (4,3) pertence a parábola.
Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
Onde:
a: coeficiente
x1 e x2: raízes da equação
Para o ponto x = 4 e y = 3, temos:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
3 = a . (4 + 5) . (4 - 5)
3 = a . (-9) → a = -1/3
Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando novamente a forma fatorada da equação do 2º grau. Para isso, consideramos x = 0, conforme indicado no gráfico acima:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
yh = -1/3.(5).(-5)
yh = 25/3
8) Encontre o vértice da parábola y = -4x2 - 5x + 6.
9) Sabe-se que 8 é o valor mínimmo da função y = x2 - 4x + p. Encontre o valor de 5p.
10- Encontre o valor de k2 - 3k sabendo que a parábola f(x) = kx2 passa pelo vértice da curva f(x) = -x2 + 4x.
11)(UFSM – 2015)- A água é essencial para a vida e está presente na constituição de todos os alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar um tanque contendo água da chuva, a expressão [pic] representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em minutos)
Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?
a) 360.
b) 180.
c) 120.
d) 6.
e) 3.
O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0. Então, vamos igualar a função dada a zero e calcular o valor de t.
Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é igual a 60 min, então 360 min será igual a 6 h.
Alternativa: d) 6
12- (FUVEST – 2015) - A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura.
[pic]
O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por ܲP, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado?
a) 60
b) 90
c) 120
d) 150
e) 180
SOLUÇÃO:
- Vamos começar representando a situação no plano cartesiano, conforme figura abaixo:
[pic]
No gráfico, o ponto de lançamento do projétil pertence ao eixo y. Já o ponto (10, 200) representa o vértice da parábola.
Como o projétil atinge o solo em 30 m, essa será uma das raízes da função. Note que a distância entre esse ponto e a abscissa do vértice é igual a 20 (30 - 10).
Por simetria, a distância do vértice para a outra raiz também será igual a 20. Sendo assim, a outra raiz foi assinalada no ponto - 10.
Conhecendo os valores das raízes (- 10 e 30) e um ponto pertencente a parábola (10, 200), podemos usar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:
y = a . (x - x1) . (x - x2)
Substituindo os valores, temos:
Conhecendo o valor de a, podemos agora calcular o valor da altura h de lançamento do projétil. Para isso, basta identificar que no ponto de lançamento x = 0 e y = h.
Substituindo esses valores na fórmula fatorada, encontramos:
Alternativa: d) 150
13- Enem - 2016 (2ª aplicação)- Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = - 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.
A segunda dedetização começou no
a) 19º dia.
b) 20º dia.
c) 29º dia.
d) 30º dia.
e) 60º dia.
A dedetização será feita quando a f(t) = 1600, então substituindo esse valor na função, encontraremos o valor de t.
1 600 = - 2 . t2 + 120 . t
2 . t2 - 120 . t + 1600 = 0
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a equação ficará:
t2 - 60 . t + 800 = 0
Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara:
[pic]
Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a 1600 infectados após a primeira dedetização.
Alternativa: b) 20º dia.
14- (Enem – 2013) - A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.
[pic]
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
Pela imagem da questão, observamos que a parábola apresenta apenas um ponto que corta o eixo x (ponto V), ou seja, ela possui raízes reais e iguais.
Desta forma, sabemos que Δ = 0, ou seja:
Δ = b2 - 4 . a . c =0
Substituindo os valores da equação, temos:
Portanto, a altura de líquido será igual a 6 cm.
Alternativa: e) 6
15- (UERJ – 2016) - Observe a função f, definida por:
[pic]
Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.
Assim, o valor positivo do parâmetro k é:
a) 5
b) 6
c) 10
d) 15
Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com a concavidade voltada para cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que o valor da função é mínimo.
No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo assim, usaremos a expressão do yv para calcular o valor do parâmetro k.
[pic]
Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o valor de k = - 5
Alternativa: a) 5
TESTES
1. (ANGLO) - O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto
a) (2, 5) b) (1, -3) c) (-1, 11) d) (3, 1) e) (1, 3)
2. (ANGLO) - A função f(x) = x2 - 4x + k tem o valor mínimo igual a 8. O valor de k é:
a) 8 b) 10 c)12 d) 14 e) 16
3. (ANGLO) - Se o vértice da parábola dada por y = x2 - 4x + m é o ponto (2, 5), então o valor de m é:
a) 0 b) 5 c) -5 d) 9 e) -9
4. (VUNESP) - A parábola de equação y = ax2 passa pelo vértice da parábola y = 4x - x2.
Ache o valor de a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) -1 e) nda
5.(ANGLO) - Considere a parábola de equação y = x2 - 4x + m. Para que a abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser igual a:
a) -14 b) -10 c) 2 d) 4 e) 6
11.(MACK) - O gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (15 - m) tangencia o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0, k). Se a abscissa do vértice da parábola é negativa, k vale:
a) 25 b) 18 c) 12 d) 9 e) 6
12.(FUVEST) - Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1) é:
a) 1/10 b) 2/10 c) 3/10 d) 4/10 e) 5/10
13. (FATEC) - O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de mínimo da função g, de R em R, definida por g(x) = (2/9) x2 - (4/3)x + 6. A função f pode ser definida por
a) y = -x² + 6x + 5 b) y = -x² - 6x + 5 c) y = -x² - 6x - 5 d) y = -x² + 6x – 5 e) y = x² - 6x + 5
15. (UEL) - A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a -16, para x = 6 b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6 d) máximo, igual a 72, para x = 12
16. (UFMG)- Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
[pic]
a) y = (x² /5) - 2x
b) y = x² - 10x
c) y = x² + 10x
d) y = (x²/5) - 10x
e) y = (x² /5) + 10x
17. A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é
a) f(x) = -2(x - 1)(x + 3) b) f(x) = -(x - 1)(x + 3) c) f(x) = -2(x + 1)(x - 3)
d) f(x) = (x - 1)(x + 3) e) f(x) = 2(x + 1)(x - 3)
18. (UFMG) - Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2, 0).
[pic]
a) Determine a equação da reta r.
b) Determine a equação dessa parábola.
c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x, nesta ordem: um sobre a parábola e o outro sobre a reta r.
Determine x para que f(x) seja a maior possível.
19. (UFPE) - O gráfico da função y = ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são, respectivamente:
[pic]
a) 1, - 6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) -1, 3 e 0 d) -1, 6 e 0 e) -2, 9 e 0
20. (UFSC) - A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V.
[pic]
A equação da reta r é:
a) y = -2x + 2 b) y = x + 2. c) y = 2x + 1 d) y = 2x + 2. e) y = -2x – 2
21. (MACK) - Se a função real definida por f(x) = -x²+ (4 – k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é:
a) -2. b) -1. c) 0. d) 1. e) 2.
22. (GV) - A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a
a) 4 b) 2 c) 0 d) -1/2 e) –2
23. (UFPE) - Qual o maior valor assumido pela função f:[-7.10] ® R definida por f(x) = x² - 5x + 9?
24. O gráfico de f(x) = x² + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0, 0) e (1, 2). Então f(-2/3) vale
a) -2/9 b) 2/9 c) -1/4 d) 1/4 e) 4
25. (PUCMG) - Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
26. (UFMG) - O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y = ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é:
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2
27. (UEL) - Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto afirmar que o valor
a) mínimo de f é -5/6 b) máximo de f é -5/6 c) mínimo de f é -13/3
d) máximo de f é -49/9 e) mínimo de f é -49/6
28. (CESGRANRIO) - O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definida por f(x) = (2x - 1)(3 - x), é o par ordenado (a, b). Então a -b é igual a:
a) -39/8 b) -11/8 c) 3/8 d) 11/8 e) 39/8
29. (UEL) - Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas condições, é verdade que
a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1.
d) f(x) > g(x) para x > 10. e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x.
30. (PUCCAMP) - A soma e o produto das raízes de uma função do 2° grau são, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o ponto
a) (3, -4) b) (11/2, -4) c) (0, -4) d) (-4; 3) e) (-4, 6)
31. (PUCRIO) - O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x² e y = 2x² - 1 é:
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
32. (UFV) - O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com a < 0, passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis de b é:
a) {b ÎIR / b £ -4} b) {b Î IR / b < -5} c) {b Î IR / b £ -3}
d) {b ÎIR / b £ -2} e) {b Î IR / b £ -1}
33. (UFMG) - Nessa figura, estão representados os gráficos das funções
[pic]
f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5.
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S é
a) 1/2 b) 3/4 c) 1 d) 5/4
34. (UNIFESP) - O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais) contém os pontos (-1, -1), (0, -3) e (1, -1).
O valor de b é:
a) -2. b) -1. c) 0. d) 1 e) 2.
35. (PUCCAMP) - Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.
O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
36. (PUCCAMP) - (Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.
O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que
a) a velocidade do móvel é nula.
b) a velocidade assume valor máximo.
c) a aceleração é nula.
d) a aceleração assume valor máximo.
e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem.
37. (PUCPR) - O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8π/7, x Î R:
a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos.
b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos.
c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.
d) intercepta o eixo das abscissas na origem.
e) não intercepta o eixo das abscissas.
38. (UFAL) - O gráfico da função quadrática definida por f(x)= 4x² + 5x + 1 é uma parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área do triângulo AVB é
a) 27/8 b) 27/16 c) 27/32 d) 27/64 e) 27/128
39. (UFES) - O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função
a) y = -(x + 3)² b) y = -(x - 3)² c) y = -(x + 3)² - 2 d) y = (x - 3)² - 2 e) y = (x + 3)²
Resposta:
1) E 2) C 3) D 4) A 5) B 6) A 7) E 8)D 9) C 10) A 11) D 12) C 13) D 14) C 15) C 16) A 17) A 18) a) 4x + y + 8 = 0 b) y = - x² + 2x c) x = -1 19) D 20) D 21) C 22) E 23) 93 24) A 25) A 26) C 27) E 28) B 29) A 30) A 31) C 32) B 33) A 34) C 35) D 36) A 37) C 38) E 39) B
Parte superior do formulário
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- DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.
- GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui. Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.
- EZZI, G. et AL. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2a Ed. São Paulo:Atual
- IEZZI, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.
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