5 Exponentes racionales y funciones radicales - Mx. Epstein

5

Exponentes racionales funciones radicales

y

5.1 Ra?ces en?simas y exponentes racionales 5.2 Propiedades de los exponentes racionales y de los radicales 5.3 Hacer gr?ficas de funciones radicales 5.4 Resolver ecuaciones y desigualdades radicales 5.5 Hacer operaciones de funci?n 5.6 Inverso de una funci?n

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Velocidad del casco (p?g. 282) Concierto (p?g. 268)

Rinoceronte blanco (p?g. 272)

Constelaciones (p?g. 250)

Veh?culo Curiosity en Marte (p?g. 254)

Mantener el dominio de las matem?ticas

Propiedades de los exponentes enteros

Ejemplo 1

-- Simplifica

la

expresi?n

x5 x3

x2 .

-- x5x3x2 = -- x5x+3 2

= --xx73

= x7 - 3

= x4

Propiedad del producto de potencias

Suma los exponentes. Propiedad del cociente de potencias Resta los exponentes.

Ejemplo 2

( ) Simplifica la expresi?n

-- 2ts3

2

.

( )-- 2ts3 2 = -- (2ts23)2

= -- 22 t2(s3)2

= -- 4ts26

Propiedad de potencia de un cociente Propiedad de potencia de un producto Propiedad de potencia de una potencia

Simplifica la expresi?n.

1. y6 y 4. --xx65 3x2

2. -- nn43

( ) 5. -- 42wz23 3

3. -- x6x5x2

( ) 6. -- zm27 mm3 2

Reescribir ecuaciones literales

Ejemplo 3 Resuelve la ecuaci?n literal -5y - 2x = 10 para y.

-5y - 2x = 10 -5y - 2x + 2x = 10 + 2x

-5y = 10 + 2x

-- --55y = -- 10-+52x y = -2 - --52x

Escribe la ecuaci?n. Suma 2x a cada lado. Simplifica.

Divide cada lado entre -5.

Simplifica.

Resuelve la ecuaci?n literal para y.

7. 4x + y = 2 10. 2xy + 6y = 10

8. x - --13 y = -1 11. 8x - 4xy = 3

9. 2y - 9 = 13x 12. 6x + 7xy = 15

13. RAZONAMIENTO ABSTRACTO ?Es importante el orden en el que aplicas las propiedades de los exponentes? Explica tu razonamiento.

Soluciones din?micas disponibles en 235

Pmra?tcetmic?atsicas

Los estudiantes que dominan las matem?ticas expresan repuestas num?ricas con precisi?n.

Usar la tecnolog?a para evaluar ra?ces

Concepto Esencial

Evaluar ra?ces con una calculadora

Ra?z cuadrada: Ra?z c?bica: Ra?z cuarta: Ra?z quinta:

Ejemplo -- 64 = 8 3 -- 64 = 4 4 -- 256 = 4 5 -- 32 = 2

ra?z cuadrada

(64)

ra?z c?bica 3(64)

8

4

ra?z cuarta

4x(256)

4

5x(32)

ra?z quinta

2

Aproximar ra?ces

Eval?a cada ra?z usando una calculadora. Redondea tu respuesta a dos lugares decimales.

--

a. 50

b. 3 -- 50

c. 4 -- 50

d. 5 -- 50

SOLUCI?N

--

a. 50 7.07 b. 3 -- 50 3.68 c. 4 -- 50 2.66 d. 5 -- 50 2.19

Redondea hacia abajo. Redondea hacia abajo. Redondea hacia arriba. Redondea hacia arriba.

(50) 3(50) 4x(50) 5x(50)

7.071067812 3.684031499 2.659147948 2.186724148

Monitoreo del progreso

1. Usa el teorema de Pit?goras para hallar las longitudes exactas de a, b, c, y d en la figura.

2. Usa una calculadora para aproximar cada longitud a la d?cima de pulgada m?s cercana.

3. Usa una regla para verificar que tus respuestas sean razonables.

1 pulg

a 1 pulg

1 pulg

b

c

1 pulg d

1 pulg

236 Cap?tulo 5 Exponentes racionales y funciones radicales

5.1

CONSTRUIR ARGUMENTOS VIABLES

Para dominar las matem?ticas, necesitas entender y usar las definiciones enunciadas y los resultados previamente obtenidos.

Ra?ces en?simas y exponentes racionales

Pregunta esencial ?C?mo puedes usar un exponente racional para

representar una potencia que incluya un radical?

Anteriormente aprendiste que la ra?z en?sima de a se puede representar como

n --a = a1/n

Definici?n de exponente racional

para todo n?mero real a y todo entero n mayor que 1.

Explorar la definici?n de un exponente racional

Trabaja con un compa?ero. Usa una calculadora para mostrar que cada enunciado

es verdadero.

a.

--

9

=

91/2

b.

--

2

=

21/2

c. 3 --8 = 81/3

d. 3 --3 = 31/3

e. 4 -- 16 = 161/4

f. 4 -- 12 = 121/4

Escribir expresiones en forma de exponente racional

Trabaja con un compa?ero. Usa la definici?n de un exponente racional y las propiedades de los exponentes para escribir cada expresi?n como una base con un ?nico exponente racional. Luego usa una calculadora para evaluar cada expresi?n. Redondea tu respuesta a dos lugares decimales.

Muestra

( ) 3 --4 2 = (41/3)2

= 42/3 2.52

4^(2/3)

2.5198421

a.

(

--

5

) 3

d. ) (5 -- 10 4

b. (4 --4 )2

e.

(

--

15

) 3

c. (3 --9 )2 f. (3 -- 27 )4

Escribir expresiones en forma radical

Trabaja con un compa?ero. Usa las propiedades de los exponentes y la definici?n de un exponente racional para escribir cada expresi?n como un radical elevado a un exponente. Luego usa una calculadora para evaluar cada expresi?n. Redondea tu respuesta a dos lugares decimales.

( ) Muestra 52/3 = (51/3)2 = 3 --5 2 2.92

a. 82/3 d. 103/2

b. 65/2 e. 163/2

c. 123/4 f. 206/5

Comunicar tu respuesta

4. ?C?mo puedes usar un exponente racional para representar una potencia que incluye un radical?

5. Eval?a cada expresi?n sin usar una calculadora. Explica tu razonamiento.

a. 43/2

b. 324/5

c. 6253/4

d. 493/2

e. 1254/3

f. 1006/3

Secci?n 5.1 Ra?ces en?simas y exponentes racionales 237

5.1 Lecci?n

Vocabulario Esencial

ra?z en?sima de a, p?g. 238 ?ndice de un radical, p?g. 238 Anterior ra?z cuadrada ra?z c?bica exponente

COMPRENDER LOS T?RMINOS MATEM?TICOS

Cuando n es par y a > 0, hay dos ra?ces reales. La ra?z positiva se llama la ra?z principal.

Qu? aprender?s

Hallar la ra?z en?sima de los n?meros. Evaluar expresiones con exponentes racionales. Resolver ecuaciones usando ra?ces en?simas.

Ra?ces en?simas

Puedes ampliar el concepto de una ra?z cuadrada a otros tipos de ra?ces. Por ejemplo, 2 es la ra?z c?bica de 8 porque 23 = 8. En general, para un entero n mayor que 1, si b n = a, entonces b es una ra?z en?sima de a. Una ra?z en?sima de a se escribe n --a, donde n es el ?ndice del radical.

Tambi?n puedes escribir una ra?z en?sima de a como potencia de a. Si supones que la potencia de la propiedad de una potencia aplica para los exponentes racionales, entonces los siguientes enunciados son verdaderos.

(a1/2)2 = a(1/2) 2 = a1 = a (a1/3)3 = a(1/3) 3 = a1 = a (a1/4)4 = a(1/4) 4 = a1 = a

Dado que a1/2 es un n?mero cuyo cuadrado es a, puedes escribir --a = a1/2. En forma similar, 3 --a = a1/3 y 4 --a = a1/4. En general, n --a = a1/n para todo entero n mayor que 1.

Concepto Esencial

Ra?ces en?simas reales de a

Imagina que n es un entero (n > 1) y que a es un n?mero real.

n es un entero par.

n es un entero impar.

a < 0 Ninguna ra?z en?sima real a = 0 Una ra?z en?sima real: n --0 = 0

a < 0 Una ra?z en?sima real: n --a = a1/n a = 0 Una ra?z en?sima real: n --0 = 0

a > 0 Dos ra?ces en?simas reales: ?n --a = ?a1/n

a > 0 Una ra?z en?sima real: n --a = a1/n

Hallar ra?ces en?simas

Halla la(s) ra?z(ces) en?sima(s) de a. a. n = 3, a = -216

b. n = 4, a = 81

SOLUCI?N a. Dado que n = 3 es impar y a = -216 < 0, -216 tiene una ra?z c?bica real.

Dado que (-6)3 = -216, puedes escribir 3 -- -216 = -6 o (-216)1/3 = -6. b. Dado que n = 4 es par y a = 81 > 0, 81 tiene dos ra?ces cuartas reales.

Dado que 34 = 81 y (-3)4 = 81, puedes escribir ?4 -- 81 = ?3 o ?811/4 = ?3.

Monitoreo del progreso

Ayuda en ingl?s y espa?ol en

Halla la(s) ra?z(ces) en?sima(s) real(es) de a indicadas.

1. n = 4, a = 16 3. n = 3, a = -125

2. n = 2, a = -49 4. n = 5, a = 243

238 Cap?tulo 5 Exponentes racionales y funciones radicales

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