Capítulo 5 Variáveis aleatórias - Anderson R. Silva

Cap¨ªtulo 5

Vari¨¢veis aleat¨®rias

5.1

Introdu??o

Em experimentos aleat¨®rios cujo espa?o amostral cont¨¦m alguns eventos

de interesse ¨¦, em geral, mais f¨¢cil lidar como uma vari¨¢vel aleat¨®ria, isto ¨¦, ¨¦

mais f¨¢cil sumarizar a informa??o do espa?o amostral em valores associados

a eventos. Por exemplo, em um estudo ecol¨®gico pode haver o interesse em

determinar se certa esp¨¦cie vegetal est¨¢ ou n?o presente em n locais de um

continente Atribuindo 1 ¨¤ presen?a e 0 ¨¤ aus¨ºncia, o espa?o amostral teria 2n

elementos. N?o obstante, se a informa??o de interesse for o n¨²mero de locais

que cont¨¦m a esp¨¦cie, ent?o poderia ser definida a vari¨¢vel X representando

o n¨²mero de locais onde a esp¨¦cie est¨¢ presente, captando assim a ess¨ºncia

do problema.

Considere ainda o exemplo a seguir: Tome o ato de identificar o sexo

de duas crias de uma ¨¦gua como sendo um experimento aleat¨®rio. O espa?o

amostral associado ¨¦ definido por S = {M M, M F, F M, F F }. Seja X a

vari¨¢vel aleat¨®ria que representa o n¨²mero de machos obtidos nas duas crias

Tem-se ent?o que: X(M M ) = 2, X(M F ) = 1, X(F M ) = 1 e X(F F ) = 0.

Ao especificar a quantidade X, definimos uma transforma??o a partir

de cada elemento A pertencente ao espa?o amostral S para um novo espa?o

amostral R, um conjunto de n¨²meros reais (no ¨²ltimo exemplo: 0, 1, 2). Essa

fun??o a partir do espa?o amostral nos reais ¨¦ o que chamamos de vari¨¢vel

aleat¨®ria, como ilustra a Figura 5.1.

Probabilidades podem ent?o ser associadas aos valores ou intervalo de

valores de uma vari¨¢vel aleat¨®ria, constituindo assim a distribui??o de probabilidades dessa vari¨¢vel. Muitas das t¨¦cnicas estat¨ªsticas s?o baseadas em

modelos de distribui??o de probabilidades, os quais podem, obviamente, serem utilizados para calcular probabilidades de interesse. Um exemplo cl¨¢ssico

39

40

Figura 5.1: Ilustrando a defini??o de vari¨¢vel aleat¨®ria, dom¨ªnimo (S) e contradom¨ªnio (R)

.

dessa aplica??o ¨¦ o c¨¢lculo do valor-p nos testes de hip¨®teses.

O uso de vari¨¢veis aleat¨®rias equivale a descrever os resultados de um

experimento aleat¨®rio por meio de valores num¨¦ricos ao inv¨¦s de palavras, o

que nos permite um melhor tratamento matem¨¢tico.

Uma vari¨¢vel aleat¨®ria quantitativa pode ser discreta ou cont¨ªnua.

5.2

Vari¨¢vel aleat¨®ria discreta

Uma vari¨¢vel aleat¨®ria X ¨¦ considerada discreta se o conjunto de valores

dessa vari¨¢vel, seu espa?o amostral, for enumer¨¢vel. Em geral, os valores

assumidos s?o n¨²meros inteiros, por exemplo: n¨²mero de animais doentes,

n¨²mero de insetos praga por planta, tamanho da leitegada etc.

A distribui??o de probabilidades de uma vari¨¢vel aleat¨®ria discreta X

pode ser caracterizada pela sua fun??o de probabilidade (f.p.), de modo que

a probabilidade de X assumir um certo valor x ¨¦ determinada pela f.p.,

denotada por PX (X = x) ou simplesmente PX (x).

A fun??o PX ¨¦ dita f.p. de X se e somente se satisfizer:

1. PX (X = x) ¡Ý 0 ? x;

2.

q

x

PX (X = x) = 1.

Formalmente, denominamos distribui??o de probabilidades da v.a.d. a

cole??o de pares [xi , PX (xi )], i = 1, 2, ..., n, que pode ser apresentada por

meio de tabelas ou gr¨¢ficos.

Revisitando o exemplo das duas crias de uma ¨¦gua, poder¨ªamos definir

a seguinte distribui??o de probabilidades (tabela 5.1) da vari¨¢vel discreta X,

o n¨²mero de machos.

Assim, podemos calcular probabilidades do tipo P (X ¡Ý 1), ao menos 1

macho:

41

Tabela 5.1: Distribui??o de probabilidades de X, o n¨²mero de machos em

dois partos de uma ¨¦gua.

Xi

0

P (Xi ) 1/4

1

2

1/2

1/4

P (X ¡Ý 1) = PX (X = 1) + PX (X = 2)

= 1/2 + 1/4

= 3/4

Calcule P (X > 1).

M¨¦dia e vari?ncia

O valor esperado ou m¨¦dia e a vari?ncia de uma vari¨¢vel aleat¨®ria discreta

s?o obtidos fazendo

E(X) =

q

x

xPX (X = x)

V ar(X) = E[X ? E(X)]2

= E(X 2 ) ? [E(X)]2

Para a distribui??o de probabilidades apresentada na tabela 5.1, temos:

E(X) =

q

x

xPX (X = x)

= x1 P (x1 ) + x2 P (x2 ) + x3 P (x3 )

= 0 ¡Á 1/4 + 1 ¡Á 1/2 + 2 ¡Á 1/4

= 1

e tamb¨¦m,

V ar(X) = E(X 2 ) ? [E(X)]2

= [x21 P (x1 ) + x22 P (x2 ) + x23 P (x3 )] ? 12

= [02 ¡Á 1/4 + 12 ¡Á 1/2 + 22 ¡Á 1/4] ? 1

= 1/2

42

5.3

Vari¨¢vel aleat¨®ria cont¨ªnua

Uma vari¨¢vel aleat¨®ria ¨¦ do tipo cont¨ªnua se puder assumir todo e qualquer valor em algum intervalo [a, b]. Em geral, tais valores s?o obtidos por

um processo de medi??o, por exemplo: altura das plantas (em cm), peso dos

animais (em kg), rendimento de gr?os (em kg/ha) etc.

A distribui??o de probabilidades de uma vari¨¢vel aleat¨®ria cont¨ªnua X

pode ser caracterizada pela sua fun??o densidade de probabilidade (f.d.p.),

denotada por fX , de modo que probabilidades de X assumir valores num

dado intervalo podem ser determinadas integrando fX .

A fun??o fX com dom¨ªnio real e contradom¨ªnio no intervalo [0, ¡Þ) ¨¦

dita f.d.p. de X se e somente se satisfizer

1. fX (x) ¡Ý 0 ? x;

2.

s¡Þ

?¡Þ

fX (x)dx = 1;

3. PX (a ¡Ü X ¡Ü b) =

sb

a

fX (x)dx.

Exemplo: Seja a vari¨¢vel aleat¨®ria cont¨ªnua X denotada pela fun??o

densidade de probabilidade a seguir, representada na figura 5.2:

f (x) =

?

?

?

?

?

3x2 ,

0,

se 0 ¡Ü x < 1

para outros valores de x

3.0

2.5

f(x) = 3x2

f(x)

2.0

1.5

1.0

0.5

f(x) = 0

f(x) = 0

0.0

0.0

0.5

1.0

x

Figura 5.2: Fun??o densidade de probabilidade de X.

43

Com f (x) podemos calcular, por exemplo,

P (X > 0, 5) =

s1

fX (x)dx

=

s1

3x2 dx

0,5

0,5

= 7/8

A figura 5.3 indica a ¨¢rea sob a curva referente a esta probabilidade.

3.0

2.5

f(x)

2.0

1.5

1.0

P(X > 0.5)

0.5

0.0

0.0

0.5

1.0

x

Figura 5.3: P (X > 0, 5).

Calcule P (0, 3 ¡Ü X < 0.5).

Observa??es

? Se X ¨¦ vari¨¢vel aleat¨®ria cont¨ªnua no intervalo [a, b], ent?o PX (X =

x) = 0 ? x ¡Ê [a, b], isto ¨¦, probabilidades pontuais s?o consideradas

nulas. Assim, por exemplo, P (X ¡Ý 2) = P (X > 2).

? Diferentemente do caso discreto, a f.d.p. n?o determina probabilidades

diretamente, como ocorre com a f.p.

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