5 -Complementos - Rumo ao ITA

Material by: Caio Guimar?es (Equipe ) Refer?ncia: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

5 - Complementos

De onde veio o nome se??o c?nica?

Se??es c?nicas s?o as se??es formadas pela interse??o de um plano com uma superf?cie c?nica.

Teorema de Dandelin

Dandelin provou que h? quatro tipos de se??es c?nicas poss?veis, e denominaremo-las elipses, circunfer?ncias, par?bolas e hip?rboles.

Imagine uma superf?cie c?nica com eixo de revolu??o e cortada por um plano . Sejam o ?ngulo de cada geratriz do cone com o eixo e o ?ngulo que faz com o eixo.

I)

90 0

Circunfer?ncia

II)

G?nero Elipse

III)

G?nero Hip?rbole

IV)

G?nero Par?bola

Excentricidade

A partir dessas defini??es de se??es c?nicas, podemos redefinir as quantidades excentricidade de car?ter geral.

Excentricidade de uma c?nica ? a quantidade dada pela raz?o

e cos cos

onde

e s?o os ?ngulos denotados nas figuras

anteriores.

Notar que nos diferentes tipos de c?nicas as excentricidades t?m faixas de valores definidos:

Circunfer?ncias: e = 0 Elipses: 0 < e < 1 Par?bolas: e = 1 Hip?rboles: e > 1

Muitos livros preferem denotar circunfer?ncias como casos particulares de elipses cuja excentricidade ? 0 .

Exerc?cio Resolvido Contextualizado

Em uma superf?cie c?nica de revolu??o de v?rtice O, as geratrizes fazem 30 graus com o eixo de rota??o. Um plano corta o eixo no ponto A e faz 60 graus com o eixo. Calcule a ?rea da se??o (AO=2)

Solu??o:

e cos cos

cos 600 cos 300

1 c1 3a

(Se??o c?nica do tipo elipse)

Da figura, y x.cos 600 2 OA BA

x 2 x ( BAO

is?sceles )

x y 2a

c1 a 3

2 1 2a c3

2

a3 2

Na elipse: a? = b? + c? , logo: b? a? c? 9 3 3 44 2

b 6 2

Sabemos que a ?rea de uma elipse ? dada por: A ab Logo a ?rea pedida ?:

A3 6 4

Foco de uma C?nica e Diretriz de uma c?nica

A partir da nossa defini??o de Dandelin de se??es c?nicas, definimos a quantidade excentricidade, e com isso podemos definir o que ? um foco de uma c?nica. Seja F um ponto no espa?o e d uma reta no espa?o tal que qualquer ponto de uma se??o c?nica atenda ?:

PF e Pd

Definimos F como sendo o foco da se??o c?nica, e d como sendo a diretriz da c?nica. Ou seja, com isso, podemos tamb?m redefinir cada um dos tipos de se??es c?nicas:

Dado um ponto F fixo e d uma reta fixa no espa?o, definimos:

PF

Elipse ? o LG dos pontos tal que

constante 1

Pd

PF

Hip?rbole ? o LG dos pontos tal que

constante 1

Pd

PF Par?bola ? o LG dos pontos tal que P d

1

OBS: 1. As defini??es de cada tipo de c?nica vistas nos 3 primeiros cap?tulos da s?rie s?o coerentes com essa nova defini??o.

2. Para elipses e par?bolas s?o definidas 2 diretrizes (para que se atenda ? defini??o para cada um dos focos).

3. Pela simetria das se??es c?nicas podemos definir eixos de simetria (eixos principais e secund?rios) a cada tipo de se??o. No caso de hip?rbole temos os eixos transverso e n?o-transverso; no caso de elipse temos eixo maior e eixo menor; no caso de par?bola temos o eixo principal. Tais eixos s?o perpendiculares e paralelos ?s retas diretrizes das c?nicas.

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