EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS - elpinarmat

Ecuaciones de Segundo Grado -- p?gina 1

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Ejercicio 1: Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones: a)x2 ? 5x + 8 = 2x + 4 b) x2 + 4x + 4 = (x ? 2)(x + 3) c) x2 + 2x ? 1 Soluci?n:

a) El primer paso es pasar todo a uno de los dos miembros de la igualdad: x2 ? 5x + 8 ? 2x ? 4 = 0. Agrupamos los t?rminos semejantes y nos queda: x2 ? 7x + 4 = 0 Como el mayor grado de la inc?gnita es 2 podemos afirmas que es una ecuaci?n de segundo grado.

b) Primero operamos los par?ntesis: x2 + 4x + 4 = x2 + x ? 6. Pasamos, ahora, todo al primer miembro de la ecuaci?n: x2 + 4x + 4 ? x2 ? x + 6 = 0 Agrupando los t?rminos semejantes nos queda: 3x + 10 = 0 Como no hay ninguna inc?gnita elevada al cuadrado podemos afirmar que NO es una ecuaci?n de segundo grado.

c) No es una ecuaci?n ya que es un polinomio de segundo grado que no est? igualada a nada.

Ejercicio 2: Dada la ecuaci?n x2 ? 2x ? 3 = 0, indica si los siguientes valores son soluci?n de la ecuaci?n o no: x1 = 3; x2 = 2; x3 = ?1; x4 = 1 Soluci?n:

a) x1 = 3. Sustituimos en la ecuaci?n la inc?gnita por su valor y operamos: 32 ? 2?3 ? 3 = 0 9 ? 6 ? 3 = 0 0 = 0 Se cumple la igualdad, por tanto el valor 3 es soluci?n de la ecuaci?n.

b) x2 = 2. Igual que antes sustituimos y operamos: 22 ? 2?2 ? 3 = 0 4 ? 4 ? 3 = 0 ? 3 = 0 No se cumple la igualdad, por tanto el valor 2 NO es soluci?n de la ecuaci?n.

c) x3 = ?1. Igual que antes sustituimos y operamos: (?1)2 ? 2?(?1) ? 3 = 0 1 + 2 ? 3 = 0 0 = 0 Se cumple la igualdad, por tanto el valor ?1 es soluci?n de la ecuaci?n.

d) x4 = 1 Como ya hay dos soluciones a la ecuaci?n este valor no puede ser soluci?n ya que una ecuaci?n de segundo grado tiene dos soluciones.

Ejercicio 3: Escribe en forma general la siguiente ecuaci?n: x2 + (1 ? x)2 = 5 ? (2 ? x)2 Soluci?n:

Primero elevamos al cuadrado: x2 + (1 + x2 ? 2x) = 5 ? (4 + x2 ? 4x). Ahora quitamos par?ntesis: x2 + 1 + x2 ? 2x = 5 ? 4 ? x2 + 4x Llevamos todo al primer t?rmino: x2 + 1 + x2 ? 2x ? 5 + 4 + x2 ? 4x = 0 Finalmente agrupamos los t?rminos semejantes: x2 ? 6x = 0

Ejercicio 4:

Escribe en forma general la siguiente ecuaci?n: x 2 +1 - x -1 = 2 - 5x +1

2

3

6

Soluci?n:

Reducimos a com?n denominador: 3(x 2 + 1) - 2(x -1) = 6 2 - 5x + 1

6

6

6

6

Quitamos denominadores: 3(x2 + 1) ? 2(x ? 1) = 6?2 ? (5x + 1)

Ahora quitamos los par?ntesis, con cuidado: 3x2 + 3 ? 2x + 2 = 12 ? 5x ? 1

Llevamos todo al primer t?rmino: 3x2 + 3 ? 2x + 2 ? 12 + 5x + 1 = 0

Y agrupamos los t?rminos: 3x2 ? 3x ? 6 = 0

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Ejercicio 5: Resuelve la ecuaci?n x2 ? 10x + 16 = 0 Soluci?n:

Tenemos que utilizar la f?rmula: x = - b ? b2 - 4ac 2a

Los coeficientes son: a = 1; b = ?10; c = 16 Sustituyendo los coeficientes en la f?rmula y operando obtenemos:

- (-10) ?

x=

(-10)2 - 4 116 = 10 ?

2 1

100 - 64 2

= 10 ? 2

36

=

10 ? 6 2

10 + 6 = 102- 6

2

= 16 = 8 2

= 4=2 2

Luego las soluciones son x = 2; x = 8

Ejercicio 6: Resuelve la ecuaci?n 4x2 + x + 4 = 6 + 3x

Soluci?n:

Primero tenemos que ponerla de la forma general, llevando todo a un miembro u agrupando t?rminos: 4x2 + x + 4 ? 6 ? 3x = 0 4x2 ? 2x ? 6 = 0

Los coeficientes son: a = 4; b = ?2; c = ?6

Sustituyendo los coeficientes en la f?rmula de la ecuaci?n de segundo grado y operando obtenemos:

x = - (- 2) ?

(- 2)2 - 4 4 (- 6) = 2 ?

24

4 + 96 8

=

2?

100 8

=

2 ? 10 8

2 + 10

=

2

8 - 10

8

= =

12 = 3 82 - 8 = -1 8

Luego las soluciones son x = ?1 ; x = 3 2

Ejercicio 7: Resuelve la ecuaci?n x2 + 9 = 5x

Soluci?n:

La forma general de la ecuaci?n es x2 ? 5x + 9 = 0 Los coeficientes son: a = 1; b = ?5; c = 9 Sustituyendo los coeficientes en la f?rmula de la ecuaci?n de segundo grado y operando obtenemos:

x = - (- 5) ? (- 5)2 - 4 1 9 = 5 ? 25 - 36 = 5 ? -11

2 1

2

2

Como no podemos calcular la ra?z cuadrada de un n?mero negativo, resulta que esta ecuaci?n no tiene soluciones reales.

Ejercicio 8: Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: a) 2x2 ? 392 = 0 b) 4x2 + 2x = 0 Soluci?n:

a) La ecuaci?n es incompleta del tipo b = 0, por tanto lo mejor es despejar x2 , siguiendo los pasos habituales: 2x 2 - 392 = 0 2x 2 = 392 x 2 = 392 x 2 = 196

2 Ahora calculamos la ra?z cuadrada y tomamos tanto su valor positivo como negativo para obtener las dos soluciones:

x = ? 196 x = ?16 Por tanto las dos soluciones son 16 y ?16

b) La ecuaci?n es incompleta del tipo c = 0, por tanto lo mejor es sacar factor com?n x:

4x 2 + 2x = 0 x(4x + 2) = 0

Para que el producto de dos n?meros sea cero uno de los dos tiene que ser cero. Por tanto:

x = 0

4x

+

2

=

0

4x

=

-2

x

=

-2 4

=

-2

Luego las soluciones son o y ?2

Ecuaciones de Segundo Grado -- p?gina 3

Ejercicio 9:

Resuelve la ecuaci?n: x + 2 - x 2 - 4 = 2 - x 2 + 2

4

3

6

Soluci?n:

Primero tenemos que ponerla de forma general, para ello hay que reducir a com?n denominador, quitar denominadores y agrupar los t?rminos en un miembro de la ecuaci?n. As? obtenemos:

( ) ( ) 3(x + 2) - 4(x 2 - 4) = 12 2 - 2(x 2 + 2) 3(x + 2) - 4 x 2 - 4 = 12 2 - 2 x 2+2 3x + 6 - 4x 2 + 16 = 24 - 2x 2 - 4

12

12

12

12

3x + 6 - 4x 2 + 16 - 24 + 2x 2 + 4 = 0 -2x 2 + 3x + 2 = 0

As? hemos obtenido que los coeficientes son: a = ?2 ; b = 3; c = 2 Sustituyendo los coeficientes en la f?rmula de la ecuaci?n de segundo grado y operando obtenemos:

-3? x=

32 - 4 (- 2) 2 2 (- 2)

=

- 3 ? 9 +16 -4

=

- 3 ? 25 -4

=

-3?5 -4

=

-3 + 5 -4

-3-5 -4

= =

2 -4 -8 -4

= =

-1 2

2

Luego las soluciones son x = 2 ; x = -1 2

Ejercicio 10:

Resuelve la ecuaci?n x + 4 - x = 2

x + 2 x -1

Soluci?n:

Primero tenemos que ponerla de forma general, para ello hay que quitar denominadores (?cuidado que son expresiones

algebraicas!) y agrupar los t?rminos en un miembro de la ecuaci?n. As? obtenemos: (x + 4)(x ? 1) ? x(x + 2) = 2(x + 2)(x ? 1) (x2 ? x + 4x ? 4) ? (x2 + 2x) = 2x2 ? 2x + 4x ? 4 x2 ? x + 4x ? 4 ? x2 ? 2x = 2x2 ? 2x + 4x ? 4 x2 ? x + 4x ? 4 ? x2 ? 2x ? 2x2 + 2x ? 4x + 4 = 0 ?2x2 ? x = 0

Hemos obtenido una ecuaci?n de segundo grado incompleta del tipo c = 0.

Por tanto, para resolverla, sacamos factor com?n x: x(?2x ? 1 ) = 0 Para que el producto de dos n?meros sea cero uno de los dos tiene que ser cero. Por tanto:

x = 0

- 2x -1 =

0

-2x

=1

x

=

1 -2

=

-1 2

Luego las soluciones son x = 2 ; x = -1 2

Ejercicio 11: Calcula el valor del discriminante e indicar que tipo de soluci?n tiene las ecuaciones: a) x2 ? 16 x + 39 = 0 b) 9x2 + 6x + 2 = 0 c) 4x2 ? 20x + 25 = 0 Soluci?n:

Sabemos que el discriminante es = b2 ? 4ac. a) Los coeficientes son a = 1; b = ?16; c = 39. Por tanto el discriminante vale: = (-16)2 ? 4?1?39 = 256 ? 156 = 100 > 0 Como el discriminante es mayor que cero, la ecuaci?n tiene dos soluciones reales distintas.

b) En este caso los coeficientes son: a = 9; b = 6; c = 2. Por tanto el discriminante vale: = 62 ? 4?9?2 = 36 ? 72 = ?36 < 0 Como el discriminante es menor que cero, la ecuaci?n no tiene soluciones reales.

c) En esta ecuaci?n los coeficientes son a = 4; b = ?20; c = 25. Por tanto el discriminante vale: =(?20)2 ? 4?4?25 = 400 ? 400 = 0 Ahora el discriminante vale 0, por tanto la ecuaci?n tiene una soluci?n doble.

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Ejercicio 12:

Indica, sin resolverlas, cual es la suma y el producto de las ra?ces de las siguientes ecuaciones: a) x2 ? 3x ? 4 = 0 b) 2x2 + 3x ? 6 = 0 c) 12x ? 3x2 = 0

Soluci?n:

Para resolver este ejercicio tenemos que utilizar que: Suma = -b ; Producto = c

a

a

a) Los coeficientes son: a = 1; b = ?3; c = ?4. Por tanto

S = -(-3) = 3 ; P = -4 = -4

1

1

b) Los coeficientes son: a = 2; b = 3; c = ?6. Por tanto

S = -3 ; P = -4 = -2

2

2

a) En esta ecuaci?n incompleta los coeficientes son: a = ?3 ; b = 12; c = 0. Por tanto

S = -12 = 4 ; P = 0 = 0

-3

- 3

Ejercicio 13:

Halla dos n?meros sabiendo que su suma es 7 y su producto es 10.

Soluci?n:

Si llamamos S a la suma y P al producto, sabemos que una ecuaci?n de segundo grado se puede escribir como: x2 ? Sx + P = 0. En nuestro caso tenemos x2 ? 7x + 10 = 0. Las soluciones de esta ecuaci?n son los n?meros buscados.

Como los coeficientes son: a = 1; b = ?7; c = 10, la soluciones de la ecuaci?n son (aplicando la f?rmula)

x = - (- 7) ?

(- 7)2 - 4 110 = 7 ?

2 1

49 - 40 2

=

7? 2

9

=

7

? 2

3

=

7

7

+ 2 - 2

3 3

= =

10 = 5 2 4 =2 2

Luego los n?meros pedidos son 5 y 2, que efectivamente suman 7 y su producto es 10

Ejercicio 14:

Encuentra una ecuaci?n de segundo grado sabiendo que sus ra?ces son 1 y ?5

Soluci?n:

Con estas ra?ces tenemos que: Suma = ?4 y Producto = ?5 Como sabemos que la ecuaci?n de segundo grado se pude poner como x2 ? Sx + P = 0, en este problema tenemos: x2 ? (?4)x + (?5) = 0 x2 + 4x ? 5 = 0 ?sta es la ecuaci?n pedida.

Ejercicio 15:

Encuentra una ecuaci?n de segundo grado, con coeficientes enteros, sabiendo que sus ra?ces son 6 y -4

3

Soluci?n:

En este caso tenemos que: Suma = 6 + -4 = 14 ; Producto = 6 -4 = -8

33

3

Aplicando la f?rmula de la Suma y el Producto obtenemos:

x 2 - 14 x - 8 = 0 3

Como nos piden coeficientes enteros, hay que quitar los denominadores, entonces la ecuaci?n pedida nos queda: 3x2 ? 4x ? 24 = 0

Ejercicio 16: Encuentra una ecuaci?n de segundo grado sabiendo que tiene la ra?z doble 5 Soluci?n:

Como tiene una soluci?n doble, tenemos que: Suma = 5 + 5 = 10; Producto = 5 ? 5 = 25 Aplicando la f?rmula de la suma y el producto obtenemos la ecuaci?n pedida: x2 ? 10x + 25 = 0

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Ejercicio 17: Calcula el valor de k para que las siguientes ecuaciones tengan una ra?z (soluci?n) doble: a) x2 + 6x + k = 0 b) 2x2 + kx + 8 = 0 Soluci?n:

Para que tenga una soluci?n doble el discriminante tiene que valer 0. Adem?s el discriminante es = b2 ? 4ac. a) Los coeficientes son: a = 1; b = 6; c = k. Por tanto: =62 ? 4?1?k= 36 ? 4k. Igualando a cero el discriminante y despejando obtenemos k:

36 - 4k = 0 36 = 4k k = 36 k = 9 4

b) Los coeficientes son: a = 2; b = k; c = 8. Por tanto: =k2 ? 4?2?8= k2 ? 64. Igualando a cero el discriminante y resolviendo la ecuaci?n obtenemos k:

k 2 - 64 = 0 k 2 = 64 k = ? 64 k = ?8

Por tanto k tiene en este caso dos posible valores 8 y ?8

Ejercicio 18: En la ecuaci?n 2x2 ? mx + 3 = 0 se sabe que una ra?z es 3. Calcula la otra y el valor de m

Soluci?n:

Llamamos a la otra soluci?n "s".

Sabemos que el producto de las soluciones es c . a

En este caso tenemos (a = 2; c = 3):

3s = 3 2

Despejando obtenemos s:

3

3s = 3 s = 2 = 3 = 1

2

3 62

Como adem?s tenemos que las suma de las soluciones es -b a

En este problema es (b = ?m; a = 2):

3 + 1 = -(-m)

22

S?lo falta despejar m de esta ecuaci?n para obtener lo pedido:

3 + 1 = -(-m) 7 = m m = 7

22

22

Luego m vale 7

Ejercicio 19:

Halla dos n?meros naturales consecutivos cuyo producto es 506.

Soluci?n:

Si un n?mero es x, el otro tiene que ser x + 1. Por tanto obtenemos: x(x + 1) = 506. Ahora hay que resolver la ecuaci?n, para ello primero lo ponemos en la forma general: x(x + 1) = 506 x2 + x = 506 x2 + x ? 506 = 0 Aplicando la f?rmula a esta ecuaci?n obtenemos (a = 1; b = 1; c = ?506)

x = -1?

12 - 4 1 (- 506) = -1 ?

2 1

1 + 2024 2

=

-1?

2025 2

=

-1 ? 45 2

=

-1 +

-

2 1-

2

45 45

= =

44 = 2 - 46

2

22 = -23

Como nos piden dos n?meros naturales, rechazamos la soluci?n ?23 Por consiguiente los n?meros pedidos son 22 y 23.

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Ejercicio 20:

Halla dos m?ltiplos de cuatro consecutivos cuya suma de sus cuadrados es 400

Soluci?n:

Si uno de los m?ltiplos es x, el otro tiene que ser x + 4 (recuerda que los m?ltiplos de 4 van de cuatro en cuatro).

Por tanto el enunciado del problema lo podemos escribir como: x2 + (x + 4)2 = 400

Ahora hay que resolver la ecuaci?n, para ello operamos para ponerla en forma general: x2 + (x + 4)2 = 400 x2 + x2 + 16 + 8x = 400 x2 + x2 + 16 + 8x ? 400 = 0 2x2 + 8x ? 384 = 0

Tenemos que los coeficientes son a = 2; b = 8; c = ?384

Aplicando la f?rmula a esta ecuaci?n obtenemos:

x = -8?

82 - 4 2 (- 384) = - 8 ?

22

64 + 3072 4

=

-8?

3136 4

=

- 8 ? 56 4

=

-8 + 56 4

- 8 - 56 4

= =

48 = 4 - 64

4

12 = -16

Como nos piden m?ltiplos de 4 rechazamos el valor ?16.

Por tanto los m?ltiplos son 12 y 16

Ejercicio 21: Halla dos n?meros sabiendo que su diferencia es 3 y que la diferencia de sus cuadrados es 117 Soluci?n:

Si su diferencia es 3, los n?meros son x y x + 3. As? el enunciado del problema lo podemos escribir como: (x + 3)2 ? x2 = 117 Operamos esta ecuaci?n: (x + 3)2 ? x2 = 117 x2 + 9 + 6x ? x2 = 117 9 + 6x = 117 Se han anulado las x2 luego no es una ecuaci?n de segundo grado sino de primer grado, que resolvemos despejando la inc?gnita x:

9 + 6x = 117 6x = 126 x = 126 = 21 6

Por tanto los n?meros son 21 y 24.

Ejercicio 22:

Si al doble de un n?mero se suma la mitad de su cuadrado obtengo 16. ?De qu? n?mero se trata?

Soluci?n:

Sea x el n?mero buscado. Entonces:

2x es el doble de dicho n?mero, x 2 es la mitad de su cuadrado. 2

Por tanto tenemos: 2x + x 2 = 16 2

Ahora hay que resolver esta ecuaci?n , para ello primero quitamos denominadores y la ponemos de la forma general:

2x + x 2 = 16 4x + x 2 = 32 x 2 + 4x - 32 = 0 2

Los coeficientes de esta ecuaci?n de segundo grado son: a = 1; b = 4; c = ?32 Aplicando la f?rmula a esta ecuaci?n obtenemos:

x = -4?

42 - 4 1 (- 32) = - 4 ?

2 1

16 + 128 2

=

-4? 2

144

=

- 4 ? 12 2

=

-4 + 12 2

- 4 -12 2

= =

8 =4 2 -16 =

2

-8

Luego obtenemos dos soluciones posibles 4 y ?8

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Ejercicio 23: Halla los lados de un tri?ngulo rect?ngulo sabiendo que la hipotenusa mide 20 cm y su per?metro mide 48 cm. Soluci?n:

Como el per?metro mide 48 y la hipotenusa 20, la suma de las medidas de los catetos es: 48 ? 20 = 28 cm

Si ahora a un cateto le denominamos x, el otro debe ser 28 ? x (para que sus suma sea 28)

Conocemos el teorema de Pit?goras que dice que "La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Aplicando este teorema a nuestros datos obtenemos: x2 + (28 ? x)2 = 202

Ahora hay que resolver la ecuaci?n, para ello operamos para ponerla en forma general: x2 + (28 ? x)2 = 202 x2 + 784 + x2 ? 56x = 400 x2 + 784 + x2 ? 56x ? 400 = 0 2x2 ? 56x + 384 = 0

Tenemos que los coeficientes son a = 2; b = ?56; c = 384

Aplicando la f?rmula a esta ecuaci?n obtenemos:

- (- 56) ?

x=

(- 56)2 - 4 2 384 = 56 ?

22

3136 - 3072 4

=

56 ? 4

64

56 + 8

=

56 ? 4

8

=

564-

8

4

= =

64 = 16 4 - 48 = -12 4

Como nos piden la medida de los catetos tenemos que rechazar el valor ?12, ya que no existen las medidas negativas.. Por tanto los catetos miden 16 y 12

Ejercicio 24: Calcula la base y la altura de un rect?ngulo sabiendo que su altura es 12 cm menos que su base y que su ?rea es de 160 cm2. Soluci?n:

Si llamamos x a la base, la altura es x ? 12.

Aplicando la f?rmula del ?rea de un rect?ngulo (?rea = Base x Altura) nos queda: x?(x ? 12) = 160

Ahora hay que resolver la ecuaci?n, para ello operamos para ponerla en forma general:

x?(x ? 12) = 160 x2 ? 12x = 160 x2 ? 12x ? 160 = 0 Tenemos que los coeficientes son a = 1; b = ?12; c = ?160

Aplicando la f?rmula a esta ecuaci?n obtenemos:

x = - (-12) ?

(-12)2 - 4 1 (-160) = 12 ?

2 1

144 + 640 2

=

12 ? 784 2

= 12 ? 28 2

=

12 + 28

12

2 -

20

2

= =

40 = 20 2 - 8 = -4 2

Como nos piden una medida tenemos que rechazar el valor ?4, ya que no existen medidas negativas.

Por tanto las dimensiones del rect?ngulo son: 20 cm y 8 cm.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Se?ala si son ecuaciones de segundo grado o no las siguientes ecuaciones: a) 2x ? 3x2 = 5 b) x2 + 2x + 3 = 0 c) 5x2 = 55 d) 7x + x2 = 7 + x2 e) x2 ? 5x + 6 = x3 f) 8 ? 2x = x2 g) 3x2 = 6x h) x3 + x2 = x3 ? x2 i) 12x = 7x2 + 5 j) x2 = 0

2) Indica en las ecuaciones de segundo grado del ejercicio anterior cuales son los coeficientes a, b y c.

3) Indica si son soluciones a cada una de las ecuaciones los valores indicados: a) x = 1 para

x2 + 5x ? 6 = 0; x2 + x ? 2 = 0; x2 + 1 = 0 b) x = ? 2 para

x2 + x ? 2 = 0; x2 ? 2x = 0; x2 ? x ? 6 = 0 c) x = 2 para

x2 ? 3x + 3 = 0 x2 ? 2x = 0; x2 + x + 6 = 0 d) x = ?1 para

x2 ? 2x ? 3 = 0; 3x2 + 3x ? 3 = 0; x2 + x = 0 e) x = 1 para

2 4x2 + 2x ? 2 = 0; 6x2 ? 5x + 1 = 0: 4x2 + 1 = 0 f) x = -1 para

2 2x2 ? 3x ? 2 = 0; 2x2 + 2x + 1 = 0; 4x2 ? 1 = 0

4) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar, en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: a) x2 + 5x + 14 = 10 b) x2 + 3x = 12 ? 5x c) x2 + 5x ? 4 = 5x d) x2 + 6x + 6 = x + 6 e) x2 + 14 = 11x ? x2 f) 3x2 + 10x ? 20 = 10 ? 3x g) 8x2 + 8x +8 = 7 ? 8x2 h) x2 ? 5x + 10 = 5x ? 10 i) 2x2 + 5 = x2 + 9 j) 25 ? 2x2 = x2 ? 25

5) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar, en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c: a) (x + 4) (x + 3) = 0 b) x ( x ? 3) = 12 c) x (x + 1) = 0 d) (x + 2)(x ? 3) = x ? 6 e) 2(x + 1) = (x ? 1)2 + 1 f) (x + 3)2 ? (x ? 3)2 = x2 g) (x ? 3)2 ? 2x = 9 h) x2 ? (3x ? 2)2 = 5 ? (x ? 1)2 i) (2x ? 3)2 + 4x = 12 ? 7x j) x ? (3x ? 2)2 = 4 ? (x + 1)2

6) Escribir de forma general las ecuaciones e indicar, en cada caso, el valor de los coeficientes a, b, c:

a) 5 - x = 2x2 9

b) x2 -1 - 3 - 2x = x - 3

2

3

6

c) 2(x - 2) +1 = x2 -1

5

3

d) (x - 2)2 = 1 - x + 1

3

e) x -1 - (x - 2)2 = 4 - x

3

4

f) 2 = x2 - 8 x

g) x(x - 2) = 3x

x -1

h) 1 + x - 2 = 3x - 5 x +1

7) Indicar si son completas o incompletas (en este caso de que tipo) las ecuaciones de los ejercicios 4, 5 y 6.

8) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x2 ? 5x + 6 = 0 b) x2 + 7x + 10 = 0 c) x2 + 2x ? 8 = 0 d) x2 ? 4x + 3 = 0 e) x2 + 8x + 7 = 0 f) x2 ? x ? 20 = 0 g) x2 ? 6x + 9 = 0 h) x2 + 10x + 25 = 0 i) 2x2 ? 7x + 5 = 0 j) 3x2 + 5x ? 22 = 0 k) 3x2 ? 4x ? 7 = 0 l) 5x2 ? 6x ? 27 = 0 m) 6x2 ? 7x + 2 = 0 n) 4x2 + 4x + 1 = 0 o) 8x2 + 10x + 3 = 0 p) 25x2 ? 5x ? 6 = 0 q) x2 ? 5x + 4 = 0 r) x2 + 4x ? 4 = 0 s) x2 ? 3x + 1 = 0 t) 2x2 ? 6x + 1 = 0 u) x2 + 2x + 3 = 0 w) x2 ? 3x + 4 = 0 x) x2 + 6x + 13 = 0 y) 5x2 + 4x + 3 = 0

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