TEMA 9 – DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES - Matematicas Online

[Pages:14]Tema 9 ? Distribuciones bidimensional ? Matem?ticas CCSSI ? 1? Bachillerato

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TEMA 9 ? DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

NUBES DE PUNTOS Y COEFICIENTES DE CORRELACI?N

EJERCICIO 1 : Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matem?ticas y en F?sica han sido las siguientes:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cu?l de estos valores te parece m?s apropiado para el coeficiente de correlaci?n: 0,23; 0,94; 0,37; 0,94. Soluci?n:

Viendo la representaci?n, observamos que el coeficiente de correlaci?n es positivo y alto. Por tanto, r 0,94.

EJERCICIO 2 : Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposici?n. Anotaron el n?mero de horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La informaci?n se recoge en la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cu?l de estos valores te parece m?s apropiado para el coeficiente de correlaci?n: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44. Soluci?n:

Observando la representaci?n, vemos que el coeficiente de correlaci?n es positivo y bajo. Por tanto, r 0,44.

EJERCICIO 3 : En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en d?as, que anunciaban en los productos y el plazo real, tambi?n en d?as, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cu?l de estos n?meros te parece m?s apropiado para el coeficiente de correlaci?n: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2. Soluci?n:

Vemos que la relaci?n entre las variables es ligeramente positiva, pero muy baja. Por tanto, r 0,2.

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EJERCICIO 4 : Considera la siguiente distribuci?n:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cu?l de estos valores te parece m?s apropiado para el coeficiente de correlaci?n: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4. Soluci?n:

Vemos que hay una relaci?n positiva entre las variables, pero es baja. Por tanto, r 0,4.

COVARIANZA, COEFICIENTE DE CORRELACI?N EJERCICIO 5 : En un reconocimiento m?dico a los ni?os de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se les ha medido, en cent?metros. Aqu? tienes los datos de los primeros seis ni?os:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlaci?n. ?C?mo es la relaci?n entre las dos variables?

Soluci?n:

xi

yi

120

25

110

30

140

35

130

25

x i2 14400 12100 19600 16900

y i2 625 900 1225 625

xiyi

740 x 123,33

3000

Medias:

6

3300

y 155 25,83

4900

6

3250 Desviaciones t?picas:

125

20

15625

400

115

20

13225

400

2500 2300

x

91850 123,332 6

98,04 9,90

740

155

91850

4175

19250

y

4175 25,832 6

28,64 5,35

Covarianza:

xy

19250 6

123,33

25,83

22,72

xy 22,72

Coeficiente de correlaci?n: r xy 22,72 0,43 r 0,43 x y 9,90 5,35

La relaci?n entre las variables es positiva, pero d?bil.

EJERCICIO 6 : En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el n?mero 42) y su precio, en euros. La informaci?n obtenida se recoge en esta tabla:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlaci?n. ?C?mo es la relaci?n entre las dos variables?

Soluci?n:

x 3800 633,33

Medias:

6

y 370 61,67

6

Desviaciones t?picas:

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3

x

2408.050 633,332 234,78 15,32 6

y

26000 61,67 2 530,14 23,02 6

Covarianza:

xy

234650 6

633,33

61,67

50,87

xy 50,87

Coeficiente de correlaci?n: r 50,87 0,14 r 0,14 15,32 23,02

La relaci?n entre las variables es muy d?bil. Podemos decir que no est?n relacionadas.

EJERCICIO 7 : Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteni?ndose los siguientes resultados:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlaci?n. ?C?mo es la relaci?n entre las dos variables?

Soluci?n:

x 504 84

Medias:

6

y 54,9 9,15

6

x D.T:

y

43072 842 122,67 11,08 6

510,67 9,152 1,39 1,18 6

Covarianza:

xy

4666,6 6

84

9,15

9,17

xy 9,17

Coeficiente de correlaci?n: r 9,17 0,70 r 0,70 11,08 1,18

Hay una relaci?n positiva y relativamente alta entre las variables.

EJERCICIO 8 : Se ha realizado una encuesta preguntando por el n?mero de personas que habitan el hogar familiar y el n?mero de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la informaci?n obtenida:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlaci?n. ?C?mo es la relaci?n entre las dos variables?

Soluci?n:

x 27 4,5 Medias: 6

y 19 3,17 6

x D.T:

y

127 4,52 0,92 0,96 6 63 3,172 0,45 0,67 6

Covarianza:

88 xy 6 4,5 3,17 0,40

xy 0,40

Coeficiente de correlaci?n: r 0,40 0,62 r 0,62 0,96 0,67

Hay una relaci?n positiva, aunque no demasiado fuerte, entre las variables.

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EJERCICIO 9 : Se han realizado unas pruebas de habilidad (punt?an de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlaci?n. ?C?mo es la relaci?n entre las variables?

Soluci?n:

x 23 3,83 Medias: 6

y 20 3,33 6

x D.T:

y

95 3,832 1,16 1,08 6 70 3,332 0,58 0,76 6

Covarianza: xy

77 6

3,83

3,33

0,079

xy 0,079

Coeficiente de correlaci?n: r 0,079 0,096 r 0,096 1,08 0,76

La relaci?n entre las variables es pr?cticamente nula.

RECTAS DE REGRESI?N, ESTIMACIONES

EJERCICIO 10 : Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que conten?an, as? como las kilocalor?as por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:

a) Halla la recta de regresi?n de Y sobre X.

b) Calcula y^ 2, 5 e y^ 10. ?Son v?lidas estas estimaciones? (Sabemos que r 0,85).

Soluci?n: a)

x 14,2 2,37

Medias:

6

y 373 62,17

6

Varianza de X:

2 x

35,06 2,372 6

0,23

Covarianza:

xy

904,9 6

2,37

62,17

3,47

Coeficiente de regresi?n:

myx

xy

2 x

3,47 0,23

15,1

Ecuaci?n de la recta de regresi?n de Y sobre X: y 62,17 15,1x 2,37

b) y^ 2, 5 15,1 2,5 26,38 64,13 kcal ; y^1015,110 26,38 177,38 kcal

y 15,1x 26,38

Como la correlaci?n es alta, r 0,85, es razonable hacer estimaciones dentro del intervalo de datos. Para un porcentaje del 2,5 de grasa, las kilocalor?as ser?n, aproximadamente, 64,13. Sin embargo, la segunda estimaci?n no es v?lida porque x 10 est? muy alejado del intervalo de datos que hemos considerado.

EJERCICIO 11 : Se ha medido el peso, en kilogramos, y el volumen, en litros, de distintos tipos de maletas, obteniendo los resultados que se recogen en esta tabla:

a) Halla la recta de regresi?n de Y sobre X.

b) Calcula y^ 120. ?Es fiable esta estimaci?n? (Sabemos que r 0,79).

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Soluci?n: a)

Varianza

de

X:

2 x

58166 98,332 25,54 6

Covarianza:

xy

3946,5 6

98,33 6,67

1,89

x 590 98,33 Medias: 6

y 40 6,67 6

Coeficiente de regresi?n:

m yx

xy

2 x

1,89 25,54

0,07

Ecuaci?n de la recta de regresi?n de Y sobre x: y 6,67 0,07x 98,33 y 0,07x 0,21

b) y^ 120 0,07 120 0,21 8,19

Como x 120 est? alejado del intervalo que estamos considerando, la estimaci?n no es fiable.

EJERCICIO 12 : En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad ?til de la bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:

a) Halla la recta de regresi?n de Y sobre X.

b) Calcula y^ 6. ?Es fiable esta estimaci?n? (Sabemos que r 0,85).

Soluci?n: a)

x 37,7 6,28

Medias:

6

y 15,5 2,58

6

Varianza de X:

2 x

238,97 6

6,282

0,39

Covarianza:

xy

100,35 6

6,28

2,58

0,52

Coeficiente de regresi?n: m yx

xy

2 x

0,52 0,39

1,33

Ecuaci?n de la recta de regresi?n de Y sobre X: y 2,58 1,33x 6,28 y 1,33x 5,77

b) y^ 6 1,33 6 5,77 2,21

S? es fiable, puesto que la correlaci?n es fuerte, r 0,85, y x 6 est? dentro del intervalo de datos que estamos considerando. Para un peso de 6 kg la capacidad de la bolsa ser?, aproximadamente, de 2,21 litros.

EJERCICIO 13 : En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1? de bachillerato en Matem?ticas y en Ingl?s, obteni?ndose la informaci?n que se recoge en la siguiente tabla:

a) Halla la recta de regresi?n de Y sobre X.

b) Calcula y^ 5,5. ?Es fiable esta estimaci?n? (Sabemos que r 0,87).

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6

Soluci?n: a)

x 37,2 6,2

Medias:

6

y 35,5 5,92

6

Varianza de X:

2 x

232,54 6,22 0,32 6

Covarianza:

xy

223 6

6,2 5,92

0,46

Coeficiente de regresi?n: m yx

xy

2 x

0,46 1,44 0,32

Ecuaci?n de la recta de regresi?n de Y sobre X: y 5,92 1,44x 6,2 y 1,44x 3

b) y^ 5, 5 1,44 5,5 3 4,92

S? es fiable la estimaci?n, puesto que la correlaci?n es fuerte, r 0,87, y x 5,5 est? dentro del intervalo de valores que estamos considerando. Por tanto, estimamos que si la nota de Matem?ticas es 5,5, la de Ingl?s ser? muy probablemente 4,9.

EJERCICIO 14 : Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresi?n y repres?ntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ?c?mo crees que ser? la correlaci?n entre las dos variables?

Soluci?n:

x 25 4,17 Medias: 6

y 23 3,83 6

x D.T.:

y

107 4,17 2 0,44 0,67 6 91 3,832 0,498 0,71 6

Coeficientes de regresi?n: y sobre x

Covarianza: xy

98 4,17 3,83 0,36 6

m yx

0,36 0,44

0,82

x sobre y

m xy

0,36 0,498

0,72

Rectas de regresi?n:

y sobre x y 3,83 0,82x 4,17 y 0,82x 0,41

x sobre y x 4,17 0,72y 3,83 x 0,72y 1,41 y x 1,41 y 1,39x 1,96

0,72

Representaci?n:

b) La correlaci?n entre las dos variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no est?n muy pr?probamos que el coeficiente de correlaci?n es: r 0,36 0,76 0,67 0,71

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EJERCICIO 15 : La estatura, en cent?metros, de seis chicos de la misma edad y la de sus padres viene recogida en la siguiente tabla:

a) Halla las dos rectas de regresi?n y repres?ntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ?c?mo crees que ser? la correlaci?n entre las dos variables?

Soluci?n: a)

x 990 165 Medias: 6

y 1065 177,5 6

x D.T.:

y

163900 1652 91,67 9,57 6

189175 177,52 22,92 4,79 6

Coeficientes de regresi?n: y sobre x

Covarianza: xy

175900 165 177,5 29,17 6

m yx

29,17 91,67

0,32

x sobre y

m xy

29,17 22,92

1,27

Rectas de regresi?n:

y sobre x y 177,5 0,32x 165 y 0,32x 124,7

x sobre y x 165 1,27y 177,5 x 1,27y 60,43 y x 60,43 y 0,79x 47,58

1,27

Representaci?n:

b) La correlaci?n entre las variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no est?n muy pr?probamos que el coeficiente de correlaci?n es: r 29,17 0,636 9,57 4,79

EJERCICIO 16 : Se ha preguntado en seis familias por el n?mero de hijos y el n?mero medio de d?as que suelen ir al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresi?n y repres?ntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ?c?mo crees que ser? la correlaci?n

entre las dos variables?

Soluci?n: a)

x 15 2,5 Medias: 6

y 18 3 6

x Desviaciones t?picas:

y

43 2,52 0,92 0,96 6 62 32 1,33 1,15 6

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8

Covarianza:

xy

44 6

2,5

3

0,17

Coeficientes de regresi?n:

y sobre x

m yx

0,17 0,92

0,18

x sobre y

Rectas de regresi?n:

y sobre x y 3 0,18x 2,5 y 0,18x 3,45

x sobre y x 2,5 0,13y 3 x 0,13y 2,89 0,13y 2,89 x

y x 2,89 y 7,69x 22,23 0,13

Representaci?n:

m xy

0,17 1,33

0,13

b) La correlaci?n es pr?cticamente nula; las rectas son casi perpendiculares. EJERCICIO 17 : Considera la siguiente distribuci?n:

a) Halla las dos rectas de regresi?n y repres?ntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ?c?mo crees que ser? la correlaci?n entre las dos variables?

Soluci?n: a)

x 26 4,33

Medias:

6

y 67 11,17

6

x Desviaciones t?picas:

y

128 4,332 2,58 1,61 6

819 11,172 11,73 3,43 6

Coeficientes de regresi?n:

Covarianza:

xy

320 4,33 11,17 4,97 6

y sobre x

m yx

4,97 2,58

1,93

x sobre y

m xy

4,97 11,73

0,42

Rectas de regresi?n:

y sobre x y 11,17 1,93x 4,33 y 1,93x 2,81

x sobre y x 4,33 0,42y 11,17 x 0,42y 0,36 y x 0,36 y 2,38x 0,86

0,42

Representaci?n:

b) La correlaci?n es muy alta, puesto que las dos rectas est?n muy pr?ximas, casi coinciden. Comprobamos que el coeficiente de correlaci?n es: r 4,97 0,9 1,61 3,43

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