SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: MÉTODO DE GAUSS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: M?TODO DE GAUSS

Ejercicio n? 1.Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres inc?gnitas que sea: a) Compatible determinado b) Compatible indeterminado c) Incompatible Justifica en cada caso tus respuestas.

Ejercicio n? 2.-

a) Razona si los siguientes sistemas son equivalentes o no:

I

:

x - 3y + 4z = 7

3x + 2z = 0

x = -2 II : y = 1

z = 3

b) A?ade una ecuaci?n al sistema I, de modo que el nuevo sistema resultante sea incompatible. Justifica tu respuesta.

Ejercicio n? 3.-

a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:

3x - 2y + 4z = 6 - 2x + 4y - z = 3 x + 2y + 3z = 1

b) ?Podr?amos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Raz?nalo.

Ejercicio n? 4.Dado el sistema de ecuaciones:

2x - y + z = 5

- x + 2y = 3 Si es posible, a?ade una ecuaci?n de modo que el nuevo sistema resultante sea: a) Incompatible b) Compatible indeterminado Justifica tus respuestas.

1

Ejercicio n? 5.-

a) Resuelve el sistema de ecuaciones:

- x + y = 1 3x - y = 1

b) A?ade una ecuaci?n al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea:

I) Compatible determinado II) Compatible indeterminado III) Incompatible

Ejercicio n? 6.Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x - 2y = 0 3x - y = 5 x - y = 1

b) 3x - z = 4

y + 3x = 2

Resu?lvelos e interpr?talos geom?tricamente.

Ejercicio n? 7.Resuelve los siguientes sistemas y haz una interpretaci?n geom?trica de los mismos:

a) 3x - 2y = 5

x + 4y

=4

- x - 2y = -3

b) x + 2z = 3

x + y = 2

Ejercicio n? 8.-

Resuelve e interpreta geom?tricamente el siguiente sistema de ecuaciones:

2x - y + z = 3

x + 2y - z = 4

x - 8y + 5z = -6

Ejercicio n? 9.-

Resuelve el siguiente sistema e interpr?talo geom?tricamente:

x + y + z = 1 2x - 3z = 5

2y + 5z = 2

2

Ejercicio n? 10.-

Resuelve e interpreta geom?tricamente el sistema:

- x + 3y - z = 4

x + 4y

= 5

2x - 6y + 2z = 3

Ejercicio n? 11.-

Resuelve los siguientes sistemas, utilizando el m?todo de Gauss:

a) - 3x + y + z = 1

x - 2y + z = 4

- x + y - 3z = -7

b) 2x - y + z = 3

3x + y - z = -3

x - 3y + 3z = 9

2x + 4y - 4z = -12

Ejercicio n? 12.-

Resuelve, por el m?todo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) 2x + y - z = 6 x - y + 2z = -1

- x + 3y = 1

b) x - y + z + t = 0 x + y + z - t = 2 x - y - z + t = 2

Ejercicio n? 13.-

Resuelve, por el m?todo de Gauss, los sistemas:

a) - 3x + y - z = -4

5x - 2y + z = 6

- x + y + 3z = 0

b) x + 2y + z + t = 3 - x + y + 2t = -1

- x + 7y + 2z + 8t = 1

Ejercicio n? 14.-

Resuelve estos sistemas, mediante el m?todo de Gauss:

a) 5x - y + 3z = -6 x + 3y - z = 10

2x - y + 4z = -2

b) 2x - y + z = 5

3x + 2y = 1

- x + 4y - 2z = -9

6x + 11y - 3z = -11

3

Ejercicio n? 15.-

Utiliza el m?todo de Gauss para resolver los sistemas:

a) 4x + y - 2z = -3 3x - y + 4z = -2 - x + y + z = 5

b) - x + y - z = -2

x - y + 2z = 4

x +z+t =3

x + 2z + t = 1

Ejercicio n? 16.-

Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones:

x - 5y - z = -4

x-y +z =6

3x - 5y + az = 31

Ejercicio n? 17.-

Discute en funci?n del par?metro, y resuelve cuando sea posible:

x + 5y - 6z = 19

3x - 6y + az = -16

x

- z = 1

Ejercicio n? 18.-

Discute, y resuelve cuando sea posible, el sistema:

2x + 3y + 5z = 8 2x + 2y + mz = 6

x + y + 2z = 3

Ejercicio n? 19.-

Dado el siguiente sistema de ecuaciones, disc?telo y resu?lvelo para los valores de m que lo hacen compatible:

2x - y - 17z = 0

x + 2y + mz = 5

x

- 5z = 1

4

Ejercicio n? 20.Discute el siguiente sistema en funci?n del par?metro a, y resu?lvelo cuando sea posible:

Ejercicio n? 21.-

2x - 5y + (a + 5)z = 0

3x + 3y

- z = 0

3x + 4y

+ 6z = 0

Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C.

?Cu?ntos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?

Ejercicio n? 22.-

Por un rotulador, un cuaderno y una carpeta se pagan 3,56 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador y que, el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno m?s el 20% del precio del rotulador. Calcula los precios que marcaba cada una de las cosas, sabiendo que sobre esos precios se ha hecho el 10% de descuento.

Ejercicio n? 23.-

Una compa??a fabric? tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sof?s. Para la fabricaci?n de cada uno de estos tipos necesit? la utilizaci?n de ciertas unidades de madera, pl?stico y aluminio tal y como se indica en la tabla siguiente. La compa??a ten?a en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de pl?stico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compa??a utiliz? todas sus existencias, ?cu?ntas sillas, mecedoras y sof?s fabric??

MADERA PL?STICO ALUMINIO

SILLA

1 unidad 1 unidad 2 unidades

MECEDORA 1 unidad 1 unidad 3 unidades

SOF?

1 unidad 2 unidades 5 unidades

Ejercicio n? 24.-

En una residencia de estudiantes se compran semanalmente 110 helados de distintos sabores: vainilla, chocolate y nata. El presupuesto destinado para esta compra es de 540 euros y el precio de cada helado es de 4 euros el de vainilla, 5 euros el de chocolate y 6 euros el de nata. Conocidos los gustos de los estudiante, se sabe que entre helados de chocolate y de nata se han de comprar el 20% m?s que de vainilla.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para calcular cu?ntos helados de cada sabor se compran a la semana.

b) Resuelve, mediante el m?todo de Gauss, el sistema planteado en el apartado anterior.

Ejercicio n? 25.-

En una reuni?n hay 22 personas, entre hombres, mujeres y ni?os. El doble del n?mero de mujeres m?s el triple del n?mero de ni?os, es igual al doble del n?mero de hombres.

a) Con estos datos, ?se puede saber el n?mero de hombres que hay?

b) Si, adem?s, se sabe que el n?mero de hombres es el doble del de mujeres, ?cu?ntos hombres, mujeres y ni?os hay?

5

SOLUCIONES: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

Ejercicio n? 1.Pon un ejemplo, cuando sea posible, de un sistema de dos ecuaciones con tres inc?gnitas que sea: a) Compatible determinado b) Compatible indeterminado c) Incompatible Justifica en cada caso tus respuestas.

Soluci?n:

a) Si el sistema tiene menos ecuaciones que inc?gnitas, no puede ser compatible determinado; con solo dos datos (ecuaciones) no podemos averiguar tres inc?gnitas.

b) Por ejemplo:

x+y

+z

= 3

tiene infinitas soluciones, que ser?an de la forma:

x - z = 1

x = 1+ , y = 2 - 2, z = , con R

c) Tendr?an que ser dos ecuaciones contradictorias. Por ejemplo:

x+

y

+z

=

3

es incompatible;no se pueden dar las dos ecuaciones a la

vez.

x + y + z = 1

Ejercicio n? 2.-

a) Razona si los siguientes sistemas son equivalentes o no:

I

:

x - 3y + 4z = 7

3x + 2z = 0

x = -2 II : y = 1

z = 3

b) A?ade una ecuaci?n al sistema I, de modo que el nuevo sistema resultante sea incompatible. Justifica tu respuesta.

Soluci?n:

a) El segundo sistema es compatible determinado. Tiene como ?nica soluci?n (-2, 1, 3), que tambi?n es soluci?n del sistema I.

Sin embargo, el sistema I tiene, adem?s de (-2, 1, 3), infinitas soluciones m?s, es compatible indeterminado. Por tanto, los dos sistemas no son equivalentes.

b) Para que sea incompatible, debemos a?adir una ecuaci?n de la forma:

a(x - 3y + 4z) + b(3x + 2z) = k, con k 7a

6

Por ejemplo, si tomamos a = 1, b = 1: 4x - 3y + 6z = 3 A?adiendo esta ecuaci?n, el nuevo sistema es incompatible.

Ejercicio n? 3.-

a) Explica si el siguiente sistema de ecuaciones es compatible o incompatible:

3x - 2y + 4z = 6 - 2x + 4y - z = 3 x + 2y + 3z = 1

b) ?Podr?amos conseguir que fuera compatible determinado, suprimiendo una de las ecuaciones? Raz?nalo.

Soluci?n:

a) Observamos que la tercera ecuaci?n es suma de las dos primeras, salvo en el t?rmino independiente que, en lugar de un 9, es un 1. Por tanto, la tercera ecuaci?n contradice las dos primeras. El sistema es incompatible.

b) No. Si suprimimos una de las ecuaciones, obtendremos un sistema con tres inc?gnitas y solo dos ecuaciones. Este nuevo sistema podr?a ser compatible indeterminado (en este caso lo ser?a), pero no compatible determinado.

Ejercicio n? 4.Dado el sistema de ecuaciones:

2x - y + z = 5

- x + 2y = 3 Si es posible, a?ade una ecuaci?n de modo que el nuevo sistema resultante sea: a) Incompatible b) Compatible indeterminado Justifica tus respuestas.

Soluci?n: a) Una ecuaci?n que haga el sistema incompatible ha de ser de la forma:

a(2x - y + z) + b(- x + 2y ) = k, con k 5a + 3b

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 1, tenemos:

x+y +z = 4

A?adiendo esta ecuaci?n, el sistema es incompatible. b) Para que sea compatible indeterminado, la ecuaci?n que a?adamos ser? de la forma:

a(2x - y + z) + b(- x + 2y ) = 5a + 3b (una combinaci?n lineal de las dos que tenemos)

Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 1, quedar?:

7

x+y +z =8 A?adiendo esta ecuaci?n, el sistema es compatible indeterminado.

Ejercicio n? 5.-

a) Resuelve el sistema de ecuaciones:

- x + y = 1 3x - y = 1

b) A?ade una ecuaci?n al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea:

I) Compatible determinado II) Compatible indeterminado III) Incompatible

Soluci?n:

a) - x + y = 1 Sumando: 2x = 2 x = 1

3x - y = 1 Sustituyendo x = 1 en la 1a ecuaci?n: - 1+ y = 1 y = 2

La soluci?n del sistema es x = 1, y = 2. Tenemos dos rectas que se cortan en el punto (1, 2).

b) I) Si a?adimos una ecuaci?n que sea combinaci?n lineal de las dos que tenemos, el nuevo sistema seguir? siendo compatible determinado. La nueva recta pasar?a tambi?n por

(1, 2). La soluci?n del sistema seguir? siendo la misma. Por ejemplo, si sumamos las dos ecuaciones que tenemos, obtenemos 2x = 2.

A?adiendo esta ecuaci?n, seguir? siendo compatible determinado (y con la misma soluci?n).

II) Es imposible, pues las dos rectas que tenemos solo tienen en com?n el punto (1, 2). A?adiendo otra ecuaci?n no podemos conseguir que estas dos rectas se corten en m?s puntos.

III) Para que fuera incompatible, tendr?amos que a?adir una ecuaci?n que contradijera las dos que tenemos; es decir, de la forma:

a(- x + y ) + b(3x - y ) = k, con k a + b

Por ejemplo, con a = 1, b = 1: 2x = 3

A?adiendo esta ecuaci?n, obtendr?amos un sistema incompatible.

Ejercicio n? 6.-

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x - 2y = 0 3x - y = 5 x - y = 1

b) 3x - z = 4

y + 3x = 2

Resu?lvelos e interpr?talos geom?tricamente.

8

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